Решение нелинейных уравнений методом простой итерации».

Задание: 1)Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

2) Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Пример выполнения задания: 1) 2x+lg(2x+3)=1

Найдём приближённые значения корней графически:

Корень X₀ принадлежит отрезку [0;0,5]. Для уточнения методом итерации приведём уравнение к виду: x=φ(x), где φ(x)=x- f (x)/k, считая, что ׀k ׀ , а Q=max׀'f׀

Число k имеет тот же знак, что и f’ в промежутке [0;0,5].

Находим f(x)=2x+lg(2x+3)-1; f’(x)=

Q= f’(x)>0 при

Примем k=2, тогда φ(x)=x- f (x)/k =x-x-

За начальное приближение возьмём x₀=0, все остальные значения будем определять из равенства: . Вычисления удобно располагать в таблице:

n	xn	2xn+3	lg(2xn+3)	0,5*lg(2xn+3)
			0,477121	0,238561
	0,261439	3,5228787	0,546898	0,273449
	0,226551	3,4531023	0,538209	0,269105
	0,230895	3,4617906	0,539301	0,26965
	0,23035	3,4606992	0,539164	0,269582
	0,230418

 

Самостоятельно: 1)2x-lgx=7

2)
Лабораторная работа 5

Метод главных элементов для решения системы уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = a₁₄

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = a₂₄

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = a₃₄

На каждом этапе исключения неизвестного выбирают главный элемент ---

Наибольший по модулю коэффициент при неизвестных, затем находят

значения m_i, равные частному от деления элементов столбца, содержащих главный элемент, на главный элемент, взятый с противоположным знаком.

Для получения элементов следующего этапа прибавляют главную строку (строку, содержащую главный элемент) к остальным строкам, умножая её на соответствующее значение m_i.

Один из возможных вариантов схемы главных элементов приводится ниже.

 

mi	Коэффициенты при неизвестных	Коэффициенты при неизвестных	Контрольные суммы S
x1	x2	x3
m1 -1 m3	a11 a21 a31	a12 a22 a32	a13 a23 a33	a14 a24 a34	a15 a25 a35
-1 m3	a’11 a’31	a’12 a’32	-- --	a’14 a’34	a’15 a’35
	--	a”32	--	a”34	a”35
	x1	x2	x3
	X1	X2	X3

 

В приведенной схеме Ia₂₃I=maxIa_ijI, Ia’₁₁I=maxIa’_ijI.

Вычисления производят по формулам: m₁=-a₁₃/a₂₃, m₃=-a₃₃/a₂₃;

a’_1j= a_1j+m₁a_2j (j = 1,2,4,5); a’_3j= a_3j+m₃a_2j (j = 1,2,4,5); m’₃=-a’₃₁/a’₁₁; a”_3j= a’_3j+m’₃a’_1j (j = 2,4,5);

Неизвестные находят из соотношений:

x₂= a”₃₄/a”₃₂; X₂= a”₃₅/a”₃₂;

x₁=(a’₁₄– a’₁₂x₂)/a’₁₁; X₁= (a’₁₅– a’₁₂X₂)/a’₁₁;

x₃=(a₂₄- a₂₁x₁-a₂₂x₂)/a₂₃; X₃= (a₂₅- a₂₁X₁-a₂₂x₂)/a₂₃;

Контроль вычислений осуществляют так же, как и в схеме единственного деления.

 

Лабораторная работа №6

Схема Халецкого для решения системы уравнений

Хi1	Хi2	Xi3	Xi4	Свободные члены	Контрольные суммы
a11	a12	a13	a14	a15
a21	a22	a23	a24	a25
a31	a32	a33	a34	a35
a41	a42	a43	a44	a45
b11	c12	c13	c14	α15	β1
b21	b22	c23	c24	α25	β2
b31	b32	b33	c34	α35	β3
b41	b42	b43	b44	α45	β4
				x4
				x3
				x2
				x1

Вычислительные формулы:

(i=1,2,3,4)

(j=2,3,4,5), ,

(i=2,3,4)

(j=3,4,5), ,

(i=3,4)

(j=4,5), ,

(i=4)

(j=5), ,

Значения переменных вычисляются по схеме единственного деления:

, , проверка (i=4,3,2,1)

Самостоятельно:

 

 

Лабораторная работа.