Властивості неперервних ф-цій.

Т.1. (Больцано-Коші). Нехай ф-ція__ неперервна на відрізку_______ і на кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі _______ знайдеться точка С, в якій ф-ція перетворюється на нуль.

Т.2. (Коші). Нехай ф-ція______ неперервна на відрізку_________ і на його кінцях набуває різних значень.

Позначимо_____________ і ________________. Тоді при будь-якому С:_____________ знайдеться точка__

 

із______, така що__________.

Т.3. (Веєрштрасса). Якщо ф-ція_____ визначена і неперервна на деякому відрізку________, то вона обмежена на цьому відрізку.

Т.4. (Веєрштрасса). Ф-ція____, неперервна на відрізку______, досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.

57. Класифікація точок розриву ф-ції. Озн. Ф-ція _____ називається розривною у точці____, якщо порушується хоча б одна з умов рівності____________________________. Розрізняють точки розриву 1-го і 2-го роду.

Озн. Точка_____, називається точкою розриву 2-го роду для ф-ції______, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь (зліва чи справа).

Озн. Точка_____ називається точкою розриву 1-го роду (розрив неліквідовний) для ф-ції ______, якщо односторонні границі (зліва і справа) ф-ції у цій точці існують, але не рівні між собою,

тобто________________________.

Озн. Точка_______ називається точкою розриву 1-го роду (розрив ліквідовний) для ф-ції__________, якщо односторонні границі ф-ції у цій точці існують, рівні між собою, але не дорівнюють значенню ф-ції у цій точці, або ф-ція у цій точці не існує,

 

тобто____________________________.

Методика дослідження ф-ції на неперервність.

1) Знайти область визначення ф-ції_____.

2) Дослідити ф-цію на неперервність у відкритих проміжках______.

3) Визначити скінченні граничні точки (сгт)___і обчислити односторонні границі ф-ції у цих точках.

4) Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати графік ф-ції поблизу цих точок.

Диференціальне числення.

 

 

59. Озн. Похідною ф-ції______ за аргументом____ називається границя відношення приросту ф-ції джо приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Фізичний зміст похідної: якщо точка рухається вздовж осі __ і її координата змінюється за законом____, то миттєва швидкість точки:

 

_______________________________________, а

 

прискорення:______________________________________.

Геометричний зміст похідної: Озн. Похідна у точці__дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка ф-ції______ у цій точці:

 

Економічний зміст похідної. Озн. Еластичністю ф-ції____ називається границя відношення відносного приросту ф-ції до відносного приросту аргументу__при______. Позначення:__________.

60 Правила диференціювання. Т.1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо____, де______, то_______.

Т.2. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційовних ф-цій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих ф-цій______________________________. Т.3. Похідна добутку двох диференційовних ф-цій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:_____________________.

Т.4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:________________________.

Т.5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовноі ф-ції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу______________________.

61. Похідна показникової ф-ції. _____________________ _____________________. Похідна логарифмічної ф-ції______________________________________

Похідна тригонометричних

ф-цій:________ ____________________,

____________ _____________________,

_____________ _______________________,

_________ ________________.

Похідна обернених тригонометричних ф-цій:

_____________________, ___________________,

____________________, ______________________.

 

 

62. Нехай ф-ція_____ означена і неперервна на деякому проміжку________. Визначимо рівняння дотичної й нормалі до графіка ф-ції______________ у точці з абсцисою_____________. Оскільки дотична й нормаль проходять через точку з абсцисою__, то їхнє рівняння будемо шукати у вигляді рівняння прямої, що проходить через задану точку ______ у даному напрямі:_________________________(1) де__ кутовий коефіцієнт дотичної. Використовуючи геометричний зміст похідної маємо, _________. Рівняння дотичної. Оскільки_________________, то з виразу(1) дістанемо рівняння дотичної у вигляді________________________. Рівняння нормалі. Озн. Нормаллю до графіка ф-ції в точці_____ називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці. Використовуючи умову перпендикулярності дотичної до нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі__________________ і записуємо її рівняння у вигляді__________________________.

 

 

63. Таблиця похідних (стр. 92 пос.)

 

64. Озн. Величина____________ називається диференціалом ф-ції____ за приростом_______. Позначення:__________. Геометрична інтерпретація: Диференціал_____ є лінійним наближенням до приросту ф-ції:_________________. Наскільки менше______, настільки краще наближення.