Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей.

Т.1. (Граничний перехід у нерівності).Якщо для будь-якого__виконується нерівність___________і___________ - збіжні,

 

то_________________.

Т.2. (Про границю затисненої послідовності) Якщо для

 

будь-якого____________і_____________-,

 

то_____________.

Т.3. (Веєрштрасса):Про границю монотонної й обмеженої послідовоності:

1) Якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

2) Якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

43. Довести, що _______________. Нехай ________, тоді послідовність_________ - монотонно спадна і обмежена знизу(________). Отже, за теоремою Веєрштрасса послідовність_________ має границю, яку позначимо так:_________. Послідовність_____________, за виключенням першого члена, збігається з послідовністю________, значить_________. Звідси випливає,

 

що____________________________________,

 

тобто________ або____________,

 

але______,значить____________________. Нехай

 

тепер________________. Розглянемо

 

 

______________________________________________.

 

44.Число е. Розглянемо послідовність

 

________________. Можна довести, що ця послідовність монотонно зростає і

 

обмежена____________________. За теоремою Веєрштрасса існує границя цієї послідовності, яку позначають так:

 

_________________. Число е(так зване “неперове число”)=2,7183… є основою натуральних логврифмів____________. Взагалі число е, як і число__, широко застосовується в різних задачах, у тому числі й у задачах з економічним змістом.

 

 

45. Озн. функцією ____ називається така відповідність між множинами_______, при якій кожному значенню змінної___ відповідає одне й тільки одне значення змінної__. При цьому вважають, що:__ - незалежна змінна(аргумент), __ - залежна змінна(функція), __ - символ закону відповідності, __ - область визначення функції, __ - область значень функції.

Властивості (стр. 7-9 пос.)

 

 

46. Озн. Функція_____ називається алгебраїчною, якщо________ - розв¢язок

 

рівняння__________________________,

 

де___________, і_____________- - многочлени. Алгебраїчні ф-ції поділяються на раціональні(цілі й дробові) та ірраціональні. Цілою раціональною ф-цією буде упорядкований

 

многочлен________________________________.

Дробово-раціональною ф-цією буде відношення многочленів

 

_________________________

 

або_____________________________________.

47. Озн. Ф-ція_____, якщо_______,_____________ називається показниковою ф-цією.

Властивості.

 

 

48. Озн. Ф-ція_________, якщо_________, ___________- називається логарифмічною.

Властивості.

 

 

49. Озн. Ф-ції_______________________називаються тригонометричними. Власт. (Валеев ст.49)

 

 

50. Озн. Ф-ції _______________________ Називаються оберненими тригонометричними ф-ціями. Власт. (51-52).

 

 

51. Число А називається границею ф-ції _________ у точці____-, якщо для будь-якого числа_________ існує таке число_____, що для

 

всіх___________,_____________ і таких,

 

що________________ виконується

 

нерівність__________________________________.

 

___________________,

 

або______________________________.

Теореми про границі. Т.1. Якщо ф-ції______ і ________ в точці___ мають границі, то сума і добуток цих ф-цій також мають у цій точці границю,

 

причому________________________________,______

 

________________________

 

Т.2. Якщо ф-ції______і________в точці___ мають границі і ______________, то й ф-ція__________ має в цій точці границю, яка дорівнює

 

__________________________________.

 

Т.3. Якщо при_________ ф-ція___________має границю А, то ця границя єдина.

 

52. Невизначеність для раціональних ф-цій. Теорема Безу: Остача від ділення многочлена___ на двочлен типу_____, дорівнює значенню многочлена

 

при______, тобто___________. Наслідок: Якщо число__ - корінь многочлена_____, тобто_________,

 

то многочлен___________ділиться без остачі на

 

двочлен________.

За наслідком з теореми Безу чисельник і знаменник діляться без остачі на______, тобто чисельник і знаменник мають спільний множник_________. Отже, матимемо

 

_________________________________.

 

Невизначеність для ірраціональних ф-цій. Для розв¢язання задач у цьому випадку рекомендується звільнитися від тих ірраціональних множників у чисельнику і знаменнику дробового виразу, які перетворюються на нуль при виконанні граничного переходу. Для звільнення від радикалів використовують формули скороченого множення, заміну змінної та інші штучні прийоми.

Невизначеність_______. У цьому випадку і чисельник, і знаменник рекомендується розділити на найбільший степінь змінної, що знаходиться у знаменнику та чисельнику.

Невизначеність_______. Цей тип невизначеності зводиться до невизначеностей типу_____ або______; наприклад зведенням виразу до спільного знаменника, множенням на спряжений вираз.

 

53. Перша особлива границ ____________________. Границі-наслідки першої особливої границі:

 

__________________ ____________________

 

___________________ ____________________.

За допомогою першої особливої границі можна досліджувати невизначеності_____для виразів з тригонометричними ф-ціями.

Друга особлива границя_________________. Границі-наслідки другої особливої границі:

 

_________________ _______________________

 

______________________

 

__________________________-.

За допомогою другої особливої границі та її наслідків можна досліджувати невизначеності______,_________,________.

54. Виходячи з наслідків першої та другої особливих границь, можна записати таку шкалу еквівалентних нмв при______: _______________________________________________________. Як наслідок звідси випливає, наприклад, що при___________ буде:______________________і т.п. Використовується шкала нмв при дослідженні невизначеностей типу_______.

55. Озн. Ф-ція_____називається неперервною у точці_______, якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст ф-ції. Для неперервності ф-ції у точці мають виконуватися такі умови:

1) Точка______належить області визначення ф-ції__________, тобто_____існує;

2) Деякий окіл точки_______входить до області визначення ф-ції;

3) Границя____при_______дорівнює значенню ф-ції у точці___________-, тобто дорівнює_______.

Озн. Ф-ція______ називається неперервною на проміжку І, якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.