ТИПА "ВХОД-ВЫХОД"
Мы будем рассматривать дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. В связи с этим уравнению (1.11) можно придать более конкретный вид
, (1.24)
где величины 
и 
– функции времени 
, а коэффициенты 
Выражение (1.24) называется неоднородным дифференциальным уравнением n -го порядка. Его решение равно сумме общего решения 
однородного уравнения
(1.25)
и какого-либо частного решения 
неоднородного уравнения (1.24)
. (1.26)
В электротехнике решение 
называется свободной составляющей и представляет собой сигнал на выходе четырехполюсника при скачкообразном изменении правой части 
уравнения (1.24) до нуля; решение носит название принужденной составляющей и соответствует сигналу на выходе четырехполюсника в установившимся режиме, ее состав зависит только от структуры 
.
1.7.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
(СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ)
Общее решение однородного уравнения (1.25) состоит из совокупности частных решений 
, (1.27)
где 
– произвольные постоянные.
Поскольку экспоненциальная функция является собственной функцией линейной системы, то частные решения следует искать в виде
. (1.28)
Подставляя (1.28) в (1.25) получим
(1.29)
Поскольку 
, то уравнение (1.29) удовлетворяется лишь при выполнении следующего равенства:
. (1.30)
Из уравнения (1.30) видно, что решениями однородного уравнения могут быть экспоненты с показателями 
, поскольку для каждого из них 
, но в (1.30) найдется сомножитель 
, равный нулю при 
. Следовательно, уравнение (1.30) определяет число и вид частных решений уравнения (1.25), в связи с чем и носит название характеристического, а 
называются корнями характеристического уравнения.
A. Корни характеристического уравнения
действительные и разные
В этом случае частные решения имеют следующий вид:
,
а общее решение уравнения (1.25) в соответствии с (1.27) запишется следующим образом:
.
Пример 1.5. Определить вид свободного решения однородного уравнения 
.
Характеристическое уравнение имеет следующий вид:
.
Корень 
. Тогда общее решение уравнения состоит из одного частного решения
.
Б. Корни характеристического уравнения комплексные
Поскольку коэффициенты 
в (1.30) действительные, то каждому комплексному корню 
обязательно соответствует сопряженный корень 
. Здесь символ " 
" означает сопряжение. Этим корням соответствуют частные решения
. (1.31)
В общее решение уравнения (1.25) они вносят следующий вклад:
Применяя формулу Эйлера к комплексным экспонентам
,
получим, что
.
Поскольку уравнение (1.25) с действительными коэффициентами, то его решение также является вещественной функцией. Поэтому сумма коэффициентов должна дать вещественное число, а разность – мнимое число. Отсюда следует, что частные решения вида (1.31) могут быть заменены решениями вида
, (1.32)
а общее решение может быть записано следующим образом:
.
Пример 1.6. Определить вид свободного решения однородного уравнения 
.
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Корни
согласно (1.32) обусловливают частные решения
.
Тогда общее решение уравнения равно
В. корни характеристического уравнения
вещественные и кратные
Пусть среди корней характеристического уравнения есть корень 
кратности 
. Ему соответствуют частных решений вида
. (1.33)
Тогда решение уравнения (1.25) содержит в себе составляющую вида
.
Пример 1.7. Определить вид свободного решения однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение имеет вид
или
.
Корню 
кратности 
соответствуют частные решения
.
Согласно (1.33) общее решение уравнения будет иметь вид
.
1.7.2. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
(ПРИНУЖДЕННЫЙ РЕЖИМ СИСТЕМЫ)
Пусть 
– многочлены степени 
.
1. Если правая часть уравнения (1.24) имеет вид
, (1.34)
то его частное решение ищется в виде
, (1.35)
если 
не является корнем характеристического уравнения, или в виде
, (1.36)
если является r -кратным корнем характеристического уравнения (1.25).
2. Если
, (1.37)
то частное решение ищется в виде
, (1.38)
если 
не является корнем характеристического уравнения (1.25), или в виде
,
если является r -кратным корнем характеристического уравнения системы. Здесь 
.
Во всех случаях 
и 
– многочлены с неопределенными постоянными. Кроме того, если правая часть уравнения (1.24) представлена комбинацией функций (1.34), (1.35) и (1.37), (1.38), то частное решение равно сумме решений, соответствующих каждому члену линейной комбинации.
Пример 1.8. Определить принужденное решение уравнения 
.
Корень характеристического уравнения 
. Он совпадает с коэффициентом затухания экспоненты в правой части уравнения. Согласно (1.36)
. (1.39)
Коэффициент 
найдем, подставив (1.39) в исходное уравнение
.
Отсюда 
.
