Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь

Тема2. Загальна теорія систем лінійних рівнянь

САМОСТІЙНА РОБОТА№2

Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1)

Позначимо через А- матрицю, складену із коефіцієнтів при невідомих (так звану основну матрицю системи); X- матрицю-стовпець із невідомих;

B- матрицю-стовпець із вільних членів, тобто

Тоді систему рівнянь(1) можна переписати у вигляді матричного рівняння:

Його розв’язок називається матричним розв’язком системи лінійних рівнянь з n невідомими.

Знаходження матричного розв’зку називається матричним способом розв’зування систем лінійних рівнянь.

Приклад. Записати і розв’язати в матричній формі систему рівнянь Розв’язок. Позначимо через

Система лінійних рівнянь запишеться у матричній формі

Матричний розв’язок системи буде

Для знаходження оберненої матриці обчислимо визначник

Оскільки то для матриці існує обернена а значить, можна знайти єдиний розв’язок вихідної системи.

Знаходимо алгебраїчні доповнення: ,

Отже, Транспонуємо тоді

Обернена матриця має вигляд:

Перевіряємо:

Обернену матрицю знайдено правильно.

Знаходимо розв’язок заданої системи:

Розв’язок системи лінійних рівнянь:

 

Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь

Метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих) ґрунтується на елементарних перетвореннях системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких належать:

1. переставляння двох рівнянь місцями;

2. множення обох частин одного з рівнянь системи на одне й те саме число, відмінне від нуля;

3. додавання до обох частин якого – небудь рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на довільне число;

4. вилучення із системи рівняння, що є тотожністю.

Загальна ідея методу Гауса полягає в тому, що з допомогою елементарних перетворень (при виключенні невідомого з усіх рівнянь, починаючи з другого, - з усіх рівнянь, починаючи з третього і т.д.) система зводиться до трикутного вигляду:

З одержаної системи послідовно, починаючи з останньої за номером невідомої, рухаючись знизу вгору, знаходять всі інші невідомі.

Часто на практиці замість перетворень над системою виконують відповідні перетворення над розширеною матрицею системи.

Алгоритм методу Гауса:

1. скласти розширену матрицю системи;

2. зробити так, щоб коефіцієнт . Для цього можна поміняти

рядки місцями, або поділити перший рядок на ;

3. в першому стовпці під коефіцієнтом 1 зробити всі нулі. Для цього помножити перший рядок послідовно на і додати відповідно до другого, третього,..., m-го рядків;

4. зробити так, щоб коефіцієнт , а під ним були нулі;

5. описані дії повторити для всіх діагональних елементів (з однаковими індексами);

6. знайти ранги основної і розширеної матриці системи.

7. за останньою матрицею скласти систему лінійних рівнянь та дослідити її:

а) якщо ранги основної і розширеної матриці не рівні, то система розв’язків не має;

b) якщо ранги основної і розширеної матриці рівні та ранг

системи дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Його шукають так: з одержаної системи послідовно, починаючи з останньої за номером невідомої, рухаючись знизу вгору, знаходять всі інші невідомі.

с) якщо ранги співпадають, але ранг системи s менший, ніж кількість невідомих n, то ця система невизначена. Розв’язки її шукають так: перші s невідомих які називаються базисними визначають через інші невідомі ..., які називаються вільними.

- загальний розв'язок системи.

Якщо замість підставити конкретні числові значення, то отримаємо частинний розв'язок системи.

Зокрема, якщо , то одержимо розв'язок , який називають базисним.

Приклад 2. Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь

Розв’язання.

1) Виконуємо перетворення над розширеною матрицею системи:

: (-2,5) 3

Оскільки ранги основної і розширеної матриці співпадають (r =3) і ранг системи дорівнює кількості невідомих, то система має один розв'язок.

2) За останньою матрицею складаємо систему рівнянь.

(2; 1; -2) - розв’язок системи.

Відповідь. (2; 1; -2).

Приклад 3. Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь

Розв’язання.

1). Виконуємо перетворення над розширеною матрицею системи:

Ранги матриць співпадають (r =2), значить система сумісна.

Оскільки ранг менше числа невідомих (2<4), то система невизначена.

2) За останньою матрицею складаємо систему рівнянь.

,

,

- загальний розв’язок системи.

Відповідь. (, , .