Порядок визначення складових поля спрямованих хвиль

Для визначення виразів для складових поля спрямованих хвиль потрібно розв’язати векторні рівняння (1.3.5) та (1.3.6), а оскільки кожному з них відповідають три скалярних рівняння, то необхідно розв’язати шість рівнянь. Такий шлях є дуже громіздким. Виберемо інший шлях: розв’яжемо два скалярних рівняння Гельмгольця відносно повздовжніх складових та , а чотири поперечних складових, скориставшись виразами для них, визначимо через знайдені повздовжні складові.

Для отримання таких виразів скористаємося проекціями 1-го та 2-го векторних рівнянь Максвелла, записаних у диференціальній формі для монохроматичних коливань:

 

Декартова система координат

Проекції на вісь OX:

(1.4.1)

(1.4.2)

Проекції на вісь OY:

(1.4.3)

 

(1.4.4)

 

Оскільки у спрямовуючій системі , , , , складові з похідними по Z можна переписати так:

 

 

тоді вирази (1.4.1) – (1.4.4) матимуть вигляд:

 

, ; (1.4.5)

, (1.4.6)

 

Розв’язуючи систему рівнянь (1.4.5) відносно та систему (1.4.6) відносно , отримаємо:

 

, (1.4.7)

, (1.4.8)

, (1.4.9)

. (1.4.10)

 

Циліндрична система координат

Діючи аналогічно, будемо мати:

 

, (1.4.11)

, (1.4.12)

, (1.4.13)

. (1.4.14)

 

Оскільки у хвилях Е типу складова , а у хвилях Н типу складова , то фактично праві частини виразів для поперечних складових через повздовжні (1.4.7) - (1.4.14) будуть удвічі коротшими для хвиль конкретних типів.

Дисперсія в хвилеводах

Фазова швидкість, під якою будемо розуміти швидкість руху фазового фронту спрямованої хвилі вздовж осі OZ, визначається за формулою: враховуючи (1.3.7) цю формулу перепишемо так:

 

Враховуючи (1.3.10) отримаємо:

(1.5.1)

 

Якщо хвилевід заповнений діелектриком з параметрами то останній вираз слід переписати так:

 

. (1.5.2)

 

Хвиля, що поширюється вздовж хвилеводу представляє собою гармонічне коливання, періодичність якого буде визначатися довжиною хвилі у хвилеводі (фазовою довжиною хвилі): де Т – період монохроматичної хвилі . Добуток - довжині хвилі генератора. З урахуванням сказаного вираз (1.5.2) матиме вигляд:

 

. (1.5.3)

 

Зваживши на те, що групова швидкість , нескладно отримати формулу для визначення групової швидкості спрямованої хвилі:

 

. (1.5.4)

 

Залежності фазової та групової швидкості від довжини хвилі генератора називається дисперсними характеристиками спрямованої хвилі, а саме явище – дисперсією. Зауважимо, що у спрямовуючій системі на відміну від необмеженого простору дисперсія має місце і при відсутності втрат, про що свідчить вираз (1.5.1).

Рисунок 1.5.1

 

Як випливає з виразу (1.5.1) та рис. 1.5.1 фазова швидкість спрямованої хвилі завжди перевищує швидкість світла і при вона стає нескінченно великою. Групова ж швидкість при наближенні до зменшується до нуля.

Пояснимо це, скориставшись концепцією парціальних хвиль. У двоплощинному хвилеводі, наприклад, парціальна плоска хвиля поширюється вздовж хвилеводу відбиваючись від нижньої та верхньої ідеально – провідних площин. Нехай парціальна плоска

 

Рисунок 1.5.2

 

Хвиля, збуджена у точці О (рис.1.5.2), зі швидкістю с прямує до верхньої площини хвилеводу і падає на неї у точці А під кутом φ За одну секунду фронт Ф цієї хвилі, залишаючись перпендикулярним до вектора її швидкості с, переміститься на відстань ОК. Отже, довжина відрізка ОК дорівнює довжині вектора фазової швидкості хвилі (швидкості переміщення фронту хвилі вздовж хвилеводу, яку будемо називати швидкістю хвилі у хвилеводі) . Енергія хвилі за цей час вздовж хвилеводу пройде відстань (групова швидкість), яка дорівнюватиме довжині проекції вектора с на вісь OZ.

Розглянувши прямокутні трикутники, можемо записати:

 

(1.5.5)

 

Порівнявши вирази (1.5.1) і для (1.5.5) та (1.5.4) при і для (1.5.5):

 

маємо право записати: .

Якщо довжина хвилі генератора буде більшою за , то відношення стане більшим, значить кут падіння має бути меншим від (хвиля падатиме крутіше). На рис.1.5.2 хвиля падає у точку Б. фазовий фронт Ф за одну секунду пройду шлях , і фазова швидкість хвилі зросте до значення V^’_Ф >V_Ф. Групова ж швидкість зменшиться до значення V^’_гр < V_гр.

Коли ж довжина хвилі генератора досягне значення , кут падіння на верхню площину хвилеводу дорівнюватиме нулю, тобто хвиля падатиме перпендикулярно до стінки у точку В. Фазовий фронт цієї хвилі буде паралельним осі OZ і їх перетин відбудеться на нескінченно великій відстані від точки О .

Групова швидкість дорівнюватиме нулю . Тобто хвиля буде відбиватися від стінок хвилеводу, рухаючись лише у поперечному напрямку без переміщення вздовж хвилеводу. Таким чином критичну довжину хвилі у хвилеводі можна визначити як таку, при якій припиняється поширення хвилі у хвилеводі. Умовою ж можливості поширення цієї хвилі є нерівність:

 

або (1.5.6)

 

 

Хвильовий опір хвилеводу

Для електромагнітних хвиль Е типу у спрямовуючий системі, наприклад, у двоплощинному хвилеводі, вирази (1.4.7)-(1.4.10) перепишуться так:

(1.6.1)

(1.6.2)

(1.6.3)

(1.6.4)

 

Введемо вектор тоді з урахуванням виразів (1.6.1) - (1.6.4) маємо:

 

(1.6.5)

(1.6.6)

 

Визначивши з виразу (1.6.5) і підставивши його у вираз (1.6.6), отримаємо:

 

, (1.6.7)

 

Тобто вектори і у хвиль типу Е є взаємно перпендикулярними. Тоді вираз (1.6.7) можна переписати у скалярному вигляді:

 

або

 

,

 

де - хвильовий опір вакууму, який заповнює хвилевід .

Відношення поперечної складової електричного поля до поперечної складової магнітного поля називається хвильовим опором хвилеводу . Отже, хвильовий опір хвилеводу з хвилею Е типу буде дорівнювати:

 

(1.6.8)

 

У випадку, коли хвилевід заповнений діелектриком з параметрами то

 

, (1.6.9)

 

де .

 

Для електромагнітних хвиль Н типу з рівнянь (1.6.7) – (1.6.9) матимемо:

 

(1.6.10)

(1.6.11)

(1.6.12)

(1.6.13)

 

Діючи аналогічно попередньому випадку (випадку для хвиль Е типу), з урахуванням виразів (1.6.10) - (1.6.13) матимемо:

 

, (1.6.14)

або , (1.6.15)

 

коли хвилевід заповнений діелектриком з хвильовим опором .

 

Прямокутний хвилевід

 

Прямокутний хвилевід, який є представником спрямовуючих систем, представляє собою металеву трубу прямокутного перетину. У такому хвилеводі можуть поширюватися хвилі

 

Рисунок 1.7.1

 

Е та Н типів. Розмістимо хвилевід у декартові системі координат, як це показано на рис 1.7.1.

 

Хвилі електричного типу

Складові поля Е хвиль будемо визначати за порядком, викладеним у підрозділі 1.4. Запишемо рівняння Гельмгольця для спрямованих хвиль (1.3.5), яке у даному випадку буде таким:

 

(1.7.1)

 

Розв’яжемо це рівняння, розділивши змінні за методом Фур’є. Для цього його розв’язок представимо у вигляді добутку:

(1.7.2)

 

де - є функція лише координат - функція лише координат .

Підставивши (1.7.2) в (1.7.1) і розділивши отриманий результат на матимемо:

 

(1.7.3)

 

де х та у – незалежні змінні, що і дало право нам замінити частинні похідні на повні.

У лівій частині рівняння (1.7.3) маємо суму двох функцій, які є незалежними одна від одної. Сума цих функцій дорівнює сталій величині . Це можливо, коли кожна з них буде дорівнювати своїй сталій величині, тобто:

 

та (1.7.4)

 

де .

Перепишемо рівняння (1.7.4) у такому вигляді:

 

та (1.7.5)

 

Як відомо з курсу вищої математики, такі лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами мають загальні розв’язки виду:

 

(1.7.6)

 

Після підстановки (1.7.6) в (1.7.2) для повздовжньої складової хвилі матимемо:

 

(1.7.7)

 

Виходячи з граничних умов для на стінках хвилеводу (ця складова є тангенціальною до них) запишемо:

1) При (права стінка хвилеводу):

 

.

 

У цьому виразі один зі співмножників має дорівнювати нулю при будь – яких значеннях y та z. Це можливо лише коли а отже:

 

.

 

2) При (ліва стінка хвилеводу):

 

.

 

Що можливо при . Звідки і

, (1.7.8)

 

а отже .

 

3) При (нижня стінка хвилеводу):

 

,

 

звідки і .

 

4) При (верхня стінка хвилеводу):

 

,

 

звідки , і

 

, (1.7.9)

а отже .

 

Оскільки розмірність добутку довільних коефіцієнтів інтегрування, як бачимо з останнього виразу, збігається з розмірністю введемо позначення і тоді:

 

. (1.7.10)

 

Поперечні складові знайдемо, скориставшись формулами (1.6.1) – (1.6.4):

,

,

,

.

 

Таким чином, вираз для комплексних амплітуд складових поля Е хвилі у прямокутному хвилеводі мають вигляд:

 

(1.7.11)

Як відомо з виразу (1.3.10) . Зваживши що, вираз для критичної довжини хвилі Е типу у прямокутному хвилеводі матиме вигляд:

 

. (1.7.12)

 

З виразів (1.7.11) випливає, що структура поля Е хвиль у площині поперечного перетину прямокутного хвилеводу відповідає структурі стійних хвиль. Число m дорівнює кількості напівхвиль, які розміщуються вздовж стінки а, n – числу напівхвиль, що розміщуються вздовж стінки в. Кожній парі чисел m і n відповідає певна структура електромагнітного поля, яке позначається через . Якщо, наприклад і то мова йде про поле типу .

 

Хвилі магнітного типу

Для такого типу хвиль необхідно повздовжну складову поля визначити, розв’язавши рівняння (1.3.6) після проектування його на вісь OZ:

(1.7.13)

 

Діючи аналогічно до попереднього випадку (знаходження ), знаходимо вираз для :

 

(1.7.14)

 

Для знаходження коефіцієнтів інтегрування скористуємось виразами (1.4.7) та (1.4.9) для магнітних хвиль і запишемо пропорції:

 

та .

 

1) При (нижня стінка хвилеводу):

 

 

2) При (верхня частина хвилеводу):

 

.

 

3) При (права стінка хвилеводу):

 

 

4) При (ліва стінка хвилеводу):

 

Як бачимо, вирази для поперечних чисел та збігаються з попереднім випадком, а отже, критична довжина хвилі у випадку магнітних хвиль має визначитися також за формулою (1.7.12). Зміст індексів m і n теж є тим самим що і у випадку хвиль Е_mn, наприклад, у випадку хвилі , вздовж розмірів a і в розміщується по одній півхвилі.

Вираз для повздовжньої складової буде таким:

 

.

Аналогічно до попереднього випадку електричної хвилі, поперечні складові знайдемо, підставивши у вирази (1.4.7) - (1.4.10) та з (1.7.15):

 

(1.7.16)