Однорідні рівняння Гельмгольця для спрямованих хвиль.

Спрямовуючі системи та спрямовані хвилі

 

Для спрямування електромагнітних хвиль від джерела до споживача використовуються спрямовуючі системи, які через цю функцію називаються хвилеводами. Наприклад, потрібно передати електромагнітну енергію від передавача до передавальної антени, чи від приймальної антени до приймача. У такому випадку такі хвилеводи називаються фідерами (від англійського слова to feed - живити). Хвилеводи бувають різними і за конструкцією і за принципом передачі (каналізації) електромагнітної енергії. На рис.1.1 зображені конструкції найбільш поширених в радіотехніці хвилеводів.

Рисунок 1.1 – Найпоширеніші хвилеводи

 

На рис. 1.1(а) зображено двопровідний хвилевід (двопровідна лінія передачі електромагнітної енергії), на рис. 1.1(б) – коаксіальний хвилевід (коаксіальна лінія передачі енергії), рис. 1.1(в) – прямокутний хвилевід, рис. 1.1(г) – круглий (циліндричний) хвилевід, рис. 1.1(д) діелектричний хвилевід, рис. 1.1(е) – смужковий хвилевід (симетрична смужкова лінія передачі), рис. 1.1(є) – несиметричний смужковий хвилевід (несиметрична смужкова лінія передачі енергії).

Спрямовані хвилі, що поширюються вздовж хвилеводів розділяються на поперечні, електричні, магнітні, гібридні та квазі-поперечні.

Поперечні чи хвилі Т-типу характеризуються тим, що їх поля не мають повздовжних складових, а мають лише поперечні. Такі хвилі можуть поширюватись у двопровідному та коаксіальному хвилеводах.

Електричні чи хвилі Е-типу не повинні мати повздовжньої складової вектора і обов’язково мати повздовжню складову вектора .

Магнітні чи хвилі Н-типу не мають повздовжню складову вектора і обов’язково мають повздовжню складову вектора .

Хвилі Е та Н типів можуть поширюватись у прямокутному, круглому та коаксіальному хвилеводах.

Гібридними чи хвилями ЕН-типу називають хвилі, у яких є повздовжні складові і вектора , і вектора . Такі хвилі можуть поширюватись, наприклад, у діелектричному хвилеводі.

Квазі -поперечні хвилі по своїй структурі дуже близькі дохвиль Т- типу, але мають невеликі повздовжні складові векторів поля. Такі хвилі поширюються в смушкових хвилеводах.

 

Двоплощинний хвилевід

Розпочнемо з більш простих задач. Побудуємо картини полів, які виникають біля ідеально-провідної площини при падінні на неї у вакуумі плоскої електромагнітної хвилі. Вектори поля у хвилі, що падає на цю площину, орієнтується довільно у просторі. Але для спрощення задачі розглянемо два випадки: коли вектор хвилі, що падає, знаходиться у площині падіння і коли цей вектор є перпендикулярним до площини падіння. Очевидно, будь – яке інше положення цього вектора можна представити як суперпозицію цих двох випадків.

Випадок перший. Вектор лежить у площині падіння (рис. 1.2.1)

 

Плоска хвиля падає на ідеально-провідну площину у напрямку вектора Пойнтінга . Фазові фронти цієї хвилі (площини рівних фаз) будуть перпендикулярними до вектора . На рисунку показані сліди цих фазових фронтів (суцільні лінії), які за фазами відрізняються від сусідніх на 180˚, тобто найкоротша відстань між ними дорівнює половині довжини хвилі . Тому у сусідніх фазових фронтах хвилі, що падає, вектори та вектори будуть мати протилежні напрямки. Причому, скрізь, вектори знаходяться у площинах фазових фронтів (у площині рисунка) і позначаються стрілочками відповідних напрямків, а вектори - перпендикулярними до площини рисунка, позначеними значком (спрямовані до нас) та (спрямовані від нас). Взаємне розташування векторів , та у кожній точці рисунка відповідає формулі .

Рисунок 1.2.1

Рисунок 1.2.2

Рисунок 1.2.3

 

Штриховими лініями позначені сліди фронтів відбитої хвилі, яка спрямована у напрямку вектора Пойнтінга відбитої хвилі. На цих лініях (відстань між якими теж дорівнює ) показане розташування векторів та відбитої хвилі, де також мається відповідність формулі . Враховуючи останню формулу і той факт, що вектор має бути скрізь перпендикулярним до площини рисунка, покажемо його напрямок, наприклад, у точці 3. Для цього згадаємо граничні умови для тангенціальної складової вектора на ідеально – провідній поверхні: у нашому випадку складова вектора складається з двох векторів: - тангенціальної складової хвилі, що падає та тангенціальної складової відбитої хвилі. Оскільки коефіцієнт відбиття дорівнює одиниці, то . Тобто у цій точці обидва вектори будуть спрямовані в один бік (уданому випадку від нас). Очевидно в усьому фронті відбитої хвилі, якому належить т. 3, вектор буде спрямованим так само. Напрямок вектора у цьому фронті легко знайти з умови . В будь-яких сусідніх фронтах відбитої хвилі вектори та будуть мати протилежні напрямки, причому вектори скрізь лежатимуть у площині рисунка.

Напрямки результуючих векторів та в усіх перехрестях фронтів визначається як векторні суми та , бо це результуюче поле над ідеально – провідною поверхньою є результатом інтерференції хвилі, що падає та відбитої хвилі.

Якщо ж у досліджувальному процесі визначити ці векторні суми за умови , то картина поля над ідеально – провідною площиною буде такою, якою вона зображена на рис. 1.2.2.

У своєму русі плоска електромагнітна хвиля зміщується у правий бік (вздовж осі OZ). Цю вісь будемо називати повздовжньою, тоді, очевидно, осі OX та OY слід називати поперечними. Відповідно і складові (проекції) векторів поля результуючої хвилі будемо називати: - поперечними, а і - повздовжніми.

В побудованій картині поля є такі складові а . Отже, ця хвиля має повздовжню складову вектора і не має повздовжньої складової поля а тому цю хвилю слід віднести до хвиль типу (електричних хвиль).

У напрямку осі OX спостерігається певна періодичність. Щоб у ній розібратися, давайте спробуємо «заставити» електромагнітну хвилю рухатися вздовж осі OZ. Для цього на певній відстані від ідеально – провідної площини розмістимо другу таку ж саму площину зверху. Таким чином, хвиля, відбиваючись від «підлоги» та «стелі», буде поширюватись у потрібному нам напрямку (вздовж осі OZ).

Відстань між цими площинами має бути такою, щоб не порушилися граничні умови для векторів поля, що збереже структуру поля непорушною. Найменшою відстанню є відстань a (рис.1.2.3а), далі відстань 2а (рис.1.2.3б) і т.д. На відстані а вектори поля змінюють свій напрямок на протилежний один раз (одна напівхвиля), а тому така хвиля називається хвилею типу E₁. На рис. 1.2.3б, очевидно, зображено картину поля хвилі типу E₂. Через невизначеність поперечного розміру у випадку рис. 1.2.2, кажуть, що йдеться про поля хвилі E_m- типу, де m може приймати значення 1,2,3,….

Спрямовуючі системи, зображені на рис.1.2.3, називаються двоплощинними хвилеводами.

Випадок другий. Вектор E перпендикулярний до площини падіння (рис.1.2.4)

Міркуючи аналогічно першому випадку, легко побудувати картини поля хвилі H типу (магнітної хвилі). Відмінність буде полягати у визначенні напрямів векторів поля E_b та H_b у слідах фронтів відбитої хвилі.

 

Рисунок 1.2.4

Рисунок 1.2.5

Рисунок 1.2.6

Справа у тім, що хвиля Н має лише одну складову , яка при падінні є тангенціальною до ідеально – провідної площини. Відомо з граничних умов, що ця складова дорівнює нулю, тобто . Звідки . На рис.1.2.5 показана структура поля електромагнітної хвилі типу , на рис.1.2.6 – хвилі типу і .

Як бачимо, магнітні складові лінії полів у обох випадках є замкнутими, тобто магнітне поле може бути лише вихровим. Електричне поле (випадок 1-й) проявляє дуалізм, коли воно має і вихровий і потенціальний характер в одній і тій самій хвилі (рис.1.2.3б). в структурі ж хвилі електричні складові лінії не є замкнутими, тобто електричне поле тут носить чисто потенціальний характер.

 

Однорідні рівняння Гельмгольця для спрямованих хвиль.

Критична частота.

 

Розглянемо довільну спрямовану систему, яка буде відповідати таким вимогам:

— нескінченна довжина, що гарантує поширення в ній лише прямої хвилі (відбиття від кінця системи нема);

— прямолінійна (хвилевод немає згинів);

— стінки є ідеально-провідними (нема втрат в провідниках);

— заповненням є вакуум (нема втрат в діелектрику);

— форма та розміри поперечного перетину є однаковими на усій довжині системи.

Така ідеалізація спрямовуючої системи (хвилеводу) допоможе нам краще розібратися в задачах, поставлених у цьому підрозділі посібника.

Запишемо однорідні рівняння Гельмгольця для необмеженого вільного простору:

 

,

.

 

Оскільки ці рівняння, при відсутності сторонніх джерел, задовільняють вектори напруженості монохроматичних електричного і магнітного полів, будемо шукати частинні розв’язки цих рівнянь для випадку монохроматичних полів, які поширюються вздовж ідеальної спрямовуючої системи. При цьому, очевидно, залежність векторів та від повздовжньої координати Z має описуватись множником , де - повздовжнє хвильове число, яке вказує на швидкість зростання фази хвилі у напряму осі OZ. Отже, розв’язки цих рівнянь можна представити виразами:

, (1.3.1)

, (1.3.2)

де , - поперечні координати відповідної ортогональної системи координат.

Нагадаємо, що оператор Лапласа (набла квадрат):

 

 

Підставивши (1.3.1) та (1.3.2) у рівняння Гельмгольця, отримаємо рівняння:

, (1.3.3)

, (1.3.4)

 

або, позначивши , матимемо рівняння:

 

, (1.3.5)

(1.3.6)

 

які, як і (1.3.3) - (1.3.6) називаються рівняннями Гельмгольця для спрямованих хвиль, а g – поперечним хвильовим числом.

Повздовжне хвильове число буде дорівнювати:

 

(1.3.7)

 

У виразах (1.3.1) та (1.3.2) множник вказує не на те, що хвиля поширюється вздовж хвилеводу. При цьому - повинне бути дійсним числом.

Розглянемо такі можливі випадки:

1. , - дійсне число і хвиля буде поширюватися вздовж осі OZ хвилеводу.

2. , =0, поширення хвилі неможливе.

3. , - уявне число. Припустимо =-jp, де р – дійсне число. Тоді множник = з фазового перетворюється на амплітудний, тобто хвиля щвидко згасає вздовж осі OZ і поширюватися не може.

Отже, другий випадок є критичним, тобто умовою припинення поширення хвилі вздовж хвилеводу. Оскільки є константами, другий випадок можливий на якійсь певній частоті роботи генератора. Назвемо цю частоту критичною і тоді:

або (1.3.8)

 

де - швидкість світла у вакуумі.

Таким чином, умовою поширення хвилі вздовж спрямовульної системи (хвилеводу) є вираз:

(1.3.9)

 

де - кругова (циклічна) частота генератора хвилі. При поширення хвилі у хвилеводі припиняється і при подальшому зменшенні частоти генератора поширення залишається неможливим. Режим роботи хвилеводу при називається закритичним.

Критичній частоті відповідає критична довжина хвилі яку визначаємо зваживши, що

 

: або (1.3.10)

а умовою поширення хвилі є:

 

(1.3.11)