Зара жай сандар және олардың қасиеттері

4-анықтама. Егер болса, онда сандары өзара жай сандар деп аталады.

Мысалы, 17 мен 23 сандары өзара жай сандар, себебі ал 30-бен 72 сандары өзара жай сандар емес, себебі

6-теорема. а және b сандары өз ара жай болуы үшін,

(3)

теңдігі орындалатын, және бүтін сандарының бар болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Қажеттігі. Егер а мен b өзара жай болса, онда 5-ші теорема бойынша, және бүтін сандары табылып, теңдігі орындалады.

Жеткіліктігі. (3) теңдік орындалатындай және бүтін сандары бар болсын және дейік. Онда, бөлінгіштіктің қасиеті бойынша (3) теңдіктен 1 саны d санына қалдықсыз бөлінеді: Демек Олай болса, а мен b өз ара жай сандар.

Салдар. Егер а мен b өз ара жай сандар болып, ал және болса, онда а₁ мен b₁ де өз ара жай сандар. Шынында да, болғандықтан және бүтін сандары табылып, теңдігі орындалады. Ал және болғандықтан және болады. Сондықтан, яғни

7-теорема. а және b сандарын санына бөлгендегі ес еліктері өз ара жай сандар болады.

Дәлелдеуі. ,болса, онда Осы теңдіктің екі жағында d-ға бөлсек.

теңдігін аламыз. Бұдан, 6-шы теорема бойынша.

болады.

8-теорема. Егер а және сандарының көбейтіндісі с санына бөлінсе және болса, онда b саны с санына бөлінеді.

Дәлелдеуі. болғандықтан, және бүтін сандары табылып, теңдігі орындалады. Осы теңдіктің екі жағында -ға көбейтсек теңдігін аламыз. Теореманың шарты бойынша болғандықтан, бөлінгіштің қасиеті бойынша, ақырғы теңдіктің сол жағындағы қосынды да с санына бөлінеді. Онда теңдіктің оң жағындағы саны да с-ға бөлінеді, яғни .

9-теорема. Егер болса, онда с саны санына, сол жағдайда, тек қана сол жағдайда бөлінеді, егер с саны а-ға да -ға да бөлінсе.

Қажеттілігі. с саны санына, ал саны а және b сандарына бөлінетін болғандықтан, с саны а-ға да -ға бөлінеді.

Жеткіліктігі.Егер с/а болса, онда Ал с/ b және болғандықтан (8-ші теорема) q саны -ға бөлінеді. Онда яғни с саны а-ға да b-ға бөлінеді.

Мысалы, кез келген N саны 30 санына бөліну үшін, ол сан 2-ге, 3-ке, 5-ке бөліну керек. Өйткені ал саны соңғы цифры ноль болғандықтан екі мен беске бөлінеді және цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетіндіктен 3 саны да бөлінеді. Демек, 324750 саны 30-ға бөлінеді.

10-теорема. Егер және болса, онда

Дәлелдеуі. Теорема тұжырымына кері, дейік. Онда болады. Теорема шарты бойынша болғандықтан, 6-теореманың салдары бойынша, Ал және болғандықтан, 8-теорема бойынша, Демек екендігі шығады. Бұл теорема шартына қайшы. Бұдан екендігі шығады. Бұл теореманы төмендегіше жалпылауымызға болады. Егер сандары сандарының әрқайсысымен өз ара жай болса, онда көбейтіндісі көбейтіндісімен өз ара жай болады.