Лінійний оператор та його матриця

Означення. Лінйним оператором у векторному просторі називається відображення векторного простору в себе → таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):

1) ;

Лінійний оператор називається також лінійним перетворенням векторного простору .

Означення. Матрицею лінійного оператора в базисі називається матриця

елементами якої є коефіцієнти в розкладі образів векторів за базисом , тобто

;

………………………………………..

З означення випливає, що стовпцями матриці є координатні рядки векторів , , в базисі .

При фіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна матриця -го порядку – матриця цього лінійного оператора. Справедливе і обернене: кожна матриця -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору в базисі .

У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпчик вектора :

Власні значення і власні вектори лінійного оператора

Нехай – векторний простір, а – лінійний оператор в цьому просторі.

Означення. Число називається власним значенням лінійного оператора , якщо існує ненульовий вектор , такий, що . Вектор називається власним вектором лінійного оператора , який відповідає власному значенню .

З означення випливає, що лінійний оператор переводить власний вектор в йому пропорційний вектор.

Нехай – матриця порядку , – одинична матриця порядку , – деяке невідоме.

Означення. Характеристичним многочленом матриці називається многочлен , визначений рівністю:

Означення. Характеристичним многочленом лінійного оператора називається характеристичний многочлен його матриці.

Теорема (про власні значення лінійного оператора). Кожне власне значення лінійного оператора є коренем його характеристичного многочлена і навпаки, кожний корінь характеристичного многочлена є власним значенням лінійного оператора .

На практиці координати власного вектора , який відповідає певному власному значенню визначають як ненульовий розв’язок однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь