Базис і розмірність векторного простору
Лінійна залежність системи векторів визначається так само, як лінійна залежність системи рядків матриці, які є числовими векторами.
Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду
. (1)
де 
– деякі дійсні числа (коефіцієнти лінійної комбінації).
Означення . Система векторів 
векторного простору 
називається лінійно залежною, якщо існують числа , які не всі водночас дорівнюють нулю (
), такі що
(2)
Система векторів називається лінійно незалежною, якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку, коли 
Теорема. (про лінійну залежність векторів)
Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.
Означення. Впорядкована система векторів називається базисом векторного простору , якщо
1) вона лінійно незалежна;
2) кожен вектор 
простору лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто .
Означення. Векторний простір називається 
- вимірним, якщо в ньому існує базис з елементів. Число називається розмірністю простору і позначається 
. Простір скінченної розмірності називається скінченновимірним. Простір, в якому можна знайти будь-яке число лінійно незалежних векторів називається нескінченновимірним. (Лінійна алгебра вивчає тільки скінченновимірні простори.)
Теорема (про зв'язок між базисом і розмірністю). Система векторів 
утворює в просторі розмірності базис тоді і тільки тоді, коли вона лінійно незалежна, а число векторів в ній дорівнює розмірності простору 
.
Координати вектора у векторному просторі.
Розкладання вектора за базисом.
Нехай – деякий базис векторного простору . Тоді будь-який вектор 
можна подати у вигляді (1)
де – деякі дійсні числа, причому єдиним чином. В цьому випадку вираз (1) називається розкладом вектора за базисом .
Означення. Коефіцієнти розкладу (1) називаються координатами вектора в даному базисі. Упорядкований набір координат вектора називається його координатним рядком і позначається 
:
.
Приклад. Довести, що вектори 
утворюють базис у просторі 
та знайти координати вектора 
в цьому базисі.
, 
, 
, 
Розв’язання. 1) Перевіримо необхідну і достатню умову компланарності векторів :
.
Оскільки 
, то вектори некомпланарні, тому вони лінійно незалежні і утворюють базис.
2) Розкладемо вектор 
за базисом :
або в координатному вигляді:
.
Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому одержимо систему:
Розв’язуючи цю систему будь-яким способом, знайдемо
,,.
3) Отже, 
.
.
Відповідь: 
