У різних розділах математики лінійні операції виконуються не тільки над векторами, а й над різними іншими об’єктами: матрицями, функціями, многочленами, тощо. Можливість підходити до цих об’єктів із загальної точки зору дає поняття векторного (лінійного) простору.
Нехай 
– непорожня множина елементів будь-якої природи, які будемо позначати 
і нехай 
– числова множина дійсних або комплексних чисел, елементи якої будемо позначати 
. Визначимо в множині операцію додавання елементів: 
і операцію множення елемента на число: 
.
Означення. Множина називається лінійним (векторним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з фіксованої числової множини , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):
1. 
комутативність додавання;
2. 
–асоціативність додавання;
3. 
: 
- існування нульового елемента;
4. 
: 
- існування протилежного елемента;
5. 
– асоціативність множення на число;
6. 
- дистрибутивність відносно додавання чисел;
7. 
- дистрибутивність відносно додавання елементів;
8. 
.
Елементи лінійного простору називаються векторами, елемент 
називається нульовим вектором (нуль-вектором).
Приклади лінійних просторів:
1) Множина 
дійсних чисел із звичайними операціями додавання і множення є дійсним векторним простором. Множина 
комплексних чисел відносно операцій додавання комплексних чисел і множення комплексних чисел на дійсні числа є дійсний векторний простір 
.
2) 
-вимірний арифметичний простір 
є векторним простором.
3) Сукупність 
всіх матриць розмірності 
з дійсними елементами утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання матриць і множення матриць на число.
4) Множина всіх геометричних векторів звичайного тривимірного простору з початком в точці 
відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число утворює дійсний векторний простір 
.
Множина всіх векторів деякої площини і деякої прямої відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число також є дійсними векторними просторами. Позначимо їх відповідно 
і 
.
5) Сукупність всіх многочленів від змінної 
з дійсними коефіцієнтами відносно операцій додавання многочленів і множення многочленів на число утворює дійсний векторний простір.
6) Сукупність всіх неперервних функцій дійсної змінної, які визначені на деякому відрізку 
, утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання функцій і множення функцій на число. Роль нуль-вектора відіграє функція, яка тотожно дорівнює нулю.
З означення безпосередньо випливають наступні
Найпростіші властивості лінійного простору:
1) Єдиність нульового вектора. В векторному просторі 
існує єдиний нульовий вектор, тобто такий, що : . (аксіома 3)
2) Єдиність протилежного елемента. В векторному просторі для будь-якого вектора 
існує єдиний вектор 
такий, що . (аксіома 4)
3) Для будь-якого вектора 
.
4) Для будь-якого числа 
і Î 
.
5) Якщо добуток 
Î, то або 
, або 
.
6) Для будь-якого вектора елемент 
є протилежним до .
