Типовые звенья линейных САУ

СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ САУ

Типовые звенья линейных САУ

Любые сложные САУ могут быть представлены как совокупность более простых элементов (вспомним функциональные и структурные схемы). Поэтому для упрощения исследования процессов в реальных системах они представляются в виде совокупности идеализированных схем, которые точно описываются математически и приближенно характеризуют реальные звенья систем в определенном диапазоне частот сигналов.

При составлении структурных схем вводятся некие типовые элементарные звенья (простые, далее не делимые), характеризующиеся только своими передаточными функциями, вне зависимости от их конструктивного исполнения, назначения и принципа действия. Классифицируют их по видам уравнений описывающих их работу. В случае линейных САУ различают следующие типы звеньев:

1.Описываемые линейными алгебраическими уравнениями относительно выходного сигнала:

а) пропорциональное (статическое, безынерционное);

б) запаздывающее.

2.Описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами:

а) дифференцирующее;

б) инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее);

в) инерционное (апериодическое);

г) интегрирующее (астатическое);

д) интегро-дифференцирующее (упругое).

3.Описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами:

а) инерционное звено второго порядка (апериодическое звено второго порядка, колебательное).

Используя математический аппарат, изложенный выше, рассмотрим передаточные функции, переходные и импульсные переходные (весовые) характеристики, а также частотные характеристики этих звеньев.

Приведем формулы, которые будут использованы для этой цели.

1. Передаточная функция: .

2. Переходная характеристика: .

3. Импульсная переходная характеристика: или .

4. КЧХ: .

5. Амплитудная частотная характеристика: ,

где , .

6. Фазовая частотная характеристика: .

По этой схеме и исследуем типовые звенья.

Заметим, что хотя для некоторых типовых звеньев n (порядок производной выходного параметра в левой части уравнения) равняется m (порядок производной входного параметра в правой части уравнения), а не больше m, как говорилось ранее, однако при конструировании реальных САУ из этих звеньев условие m<n для всего САУ обычно всегда выполняется.

Пропорциональное (статическое, безынерционное) звено. Это самое простое звено, выходной сигнал которого прямо пропорционален входному сигналу:

(3.1)

где k — коэффициент пропорциональности или передачи звена.

Примерами такого звена являются: а) клапаны с линеаризованными характеристиками (когда изменение расхода жидкости пропорционально степени изменения положения штока) в рассмотренных выше примерах систем регулирования; б) делитель напряжения; в) рычажная передача и др.

Переходя в (3.1) к изображениям, имеем:

1. Передаточная функция: .

2. Переходная характеристика: , следовательно .

3. Импульсная переходная характеристика: .

4. КЧХ: .

5. АЧХ: .

6. ФЧХ: .

Принятое описание связи между входом и выходом справедливо только для идеального звена и соответствует реальным звеньям лишь при низких частотах, . При в реальных звеньях коэффициент передачи k начинает зависеть от частоты и при высоких частотах падает до нуля.

Запаздывающее звено. Это звено описывается уравнением

, (3.2)

где – время запаздывания.

Примером запаздывающего звена служат: а) длинные электрические линии без потерь; б) длинный трубопровод и др.

Передаточная функция, переходная и импульсная переходная характеристика, КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ этого звена:

1. .

2. , значит: .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.1 изображены: а) годограф КЧХ запаздывающего звена; б) АЧХ и ФЧХ запаздывающего звена. Заметим, что при увеличении конец вектора описывает по часовой стрелке все возрастающий угол.

Рис.3.1. Годограф (а) и АЧХ, ФЧХ (б) запаздывающего звена.

Интегрирующее звено. Это звено описывается уравнением

или (3.3)

где — коэффициент передачи звена.

Примерами реальных элементов, эквивалентные схемы которых сводятся к интегрирующему звену, являются: а) электрический конденсатор, если считать входным сигналом ток, а выходным – напряжение на конденсаторе: ; б) вращающийся вал, если считать входным сигналом угловую скорость вращения, а выходным – угол поворота вала: ; и т.д.

Определим характеристики данного звена:

1. .

2. .

Воспользуемся таблицей преобразования Лапласа 3.1, получаем:

Умножаем на так как функция при .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.2 показаны: а) годограф КЧХ интегрирующего звена; б) АЧХ и ФЧХ звена; в) переходная характеристика звена.

Рис.3.2. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б), переходная характеристика (в) интегрирующего звена.

Дифференцирующее звено. Это звено описывается уравнением

, (3.4)

где – коэффициент передачи звена.

Найдем характеристики звена:

1. .

2. , учитывая, что , находим: .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.3 показаны: а) годограф звена; б) АЧХ и ФЧХ звена.

а) б)

Рис. 3.3. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б) дифференцирующего звена.

Примером дифференцирующего звена являются идеальный конденсатор и индуктивность. Это следует из того, что напряжение u и ток i связаны для конденсатора С и индуктивности L соответственно следующими соотношениями:

, .

Отметим, что реальная емкость обладает небольшой емкостной индуктивностью, реальная индуктивность имеет межвитковую емкость (которые особенно сильно проявляются на больших частотах), что приводит указанные выше формулы к следующему виду:

, .

Таким образом, дифференцирующее звено не может быть технически реализовано, так как порядок правой части его уравнения (3.4) больше порядка левой части. А нам известно, что должно выполняться условие n > m или, в крайнем случае, n = m.

Однако можно приблизиться к этому уравнению данного звена, использовав инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее) звено.

Инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее) звено описывается уравнением:

, (3.5)

где k — коэффициент передачи звена, Т — постоянная времени.

Передаточная функция, переходная и импульсная переходная характеристики, КЧХ, АЧХ и ФЧХ этого звена определяются формулами:

1. .

2. .

Используем свойство преобразования Лапласа – смещение изображения (3.20), согласно которому: если , то .

Отсюда: .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.4 приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

а) б)

Рис.3.4. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена.

Для того чтобы свойства реального дифференцирующего звена приближались к свойствам идеального, необходимо одновременно увеличивать коэффициент передачи k и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение оставалось постоянным:

kT = k _д,

где k _д – коэффициент передачи дифференцирующего звена.

Отсюда видно, что в размерность коэффициента передачи k _д дифференцирующего звена входит время.

Инерционное звено первого порядка (апериодическое звено) одно из самых распространенных звеньев САУ. Оно описывается уравнением:

, (3.6)

где k – коэффициент передачи звена, Т – постоянная времени.

Характеристики данного звена определяются формулами:

1. .

2. .

Пользуясь свойствами интегрирования оригинала и смещением изображения имеем:

3. , т.к. при , то на всей временной оси данная функция равна 0 ( при ).

4. .

5. .

6. .

На рис.3.5 показаны: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

Рис.3.5. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ инерционного звена первого порядка.

Интегро-дифференцирующее звено. Это звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде:

, (3.7)

где k — коэффициент передачи звена, Т₁ и Т₂ — постоянные времени.

Введем обозначение:

В зависимости от значения t звено будет обладать различными свойствами. Если , то звено по своим свойствам будет приближаться к интегрирующему и инерционному звеньям. Если , то данное звено по свойствам будет ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему.

Определим характеристики интегродифференцирующего звена:

1. .

2. , отсюда следует:

, т.к. при t ® 0, то:

4. .

5. .

6. .

На рис.3.6. приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ; в) ФЧХ; г) переходная характеристика звена.

а) б)

в) г)

Рис.3.6. Годограф (а), АЧХ (б), ФЧХ (в), переходная характеристика (г) интегродифференцирующего звена.

Инерционное звено второго порядка. Это звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

, (3.8)

где (капа) – постоянная затухания; Т — постоянная времени, k — коэффициент передачи звена.

Реакция системы, описываемой уравнением (3.8), на единичное ступенчатое воздействие при представляет собой затухающие гармонические колебания, в этом случае звено еще называется колебательным. При колебания не возникнут, и звено, описываемое уравнением (3.8) называется апериодическим звеном второго порядка. Если , то колебания будут незатухающими с частотой .

Примером конструктивного выполнения данного звена могут служить: а) электрический колебательный контур, содержащий емкость, индуктивность и омическое сопротивление; б) масса, подвешенная на пружине и имеющая демпфирующее устройство, и т.д.

Определим характеристики инерционного звена второго порядка:

1. .

2. .

Корни характеристического уравнения стоящего в знаменателе определяются:

Очевидно, что здесь возможно три случая:

1) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные разные и , тогда переходная характеристика определяется:

;

2) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные одинаковые :

;

3) при корни характеристического уравнения звена являются комплексно - сопряженными , причем

, , (3.9)

переходная характеристика определяется формулой:

т.е., как отмечалось выше, она приобретает колебательный характер.

3. Также имеем три случая:

1) ,

т.к. при ;

2) , т.к. при ;

3) , т.к. при .

4. .

5. .

6. ,

где а = 0 при и а = 1 при (см. формулу (3.77)).

а) б)

Рис.3.7. График КЧХ (а) и переходная характеристика (б) звена.

На рис.3.7, а, б показан типичный вид КЧХ и переходных характеристик для случаев и . Согласно рисунку уменьшение значения приводит к тому, что петля, очерченная концом вектора , увеличивается. При , т.е. при наличии в системе незатухающих колебаний, петля вырождается в две полупрямые: первая от =k при до при (приближаемся слева, т.е. и ) и вторая от при (приближаемся справа, т.е. и ) до при .

На рис.3.8 показаны соответствующие АЧХ и ФЧХ. Здесь – безразмерная частота.

а) б)

Рис.3.8. АЧХ (а) и ФЧХ (б) звена.

Как видим, колебательному характеру переходной характеристики соответствует наличие в графике АЧХ резонансного пика при частоте резонанса . Отношение максимального (пикового) значения АЧХ к ее значению при нулевой частоте получило название частотного показателя колебательности:

. (3.10)

Продифференцируем выражение для АЧХ этого звена по , и приравняем производную к нулю. В результате получим выражение для резонансной частоты системы

при условии , (3.11)

Из (3.11) следует, что при резонансная частота , а, согласно формуле для АЧХ, при этом .

Подстановка (3.11) и выражения для АЧХ в (3.10) приводит к следующей формуле для определения частотного показателя колебательности:

при условии . (3.12)

Об интенсивности затухания колебаний можно судить также и по корневому показателю колебательности, который равен отношению абсолютного значения вещественной части корней к их мнимой части:

С учетом (3.9) корневой показатель колебательности т рассматриваемого звена можно выразить через коэффициенты его уравнения:

. (3.13)

Приняв во внимание (3.12), можно установить связь т с частотным показателем колебательности M:

. (3.14)

На практике интенсивность затухания колебаний в колебательном звене удобно характеризовать относительным уменьшением соседних амплитуд и переходной характеристики (рис.3.7, б):

. (3.15)

Этот показатель получил название степени затухания колебаний.

Поскольку переходная характеристика колебательного звена определяется формулой:

то можно записать:

, (3.16)

где — период собственных колебаний звена.

С учетом этого формулу (3.15) можно представить следующим образом:

. (3.17)

Таким образом, степень затухания однозначно связана с корневым показателем колебательности т,а, следовательно, и с частотным показателем колебательности М.