Общий вид задач нелинейного программирования

Тема 2.2. Нелинейное программирование.

1.Общий вид задач нелинейного программирования.

2. Графический метод решения задач нелинейного программирования.

3. Метод множителей Лагранжа.

4. Практические занятия. 1

4.1. Решение задач нелинейного программирования графическим методом.

4.2. Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа.

Общий вид задач нелинейного программирования

Математическая модель задачи нелинейного программирования в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор = (х ₁, x ₂, …, x_n), удовлетворяющий системе ограничений и доставляющий экстремум (наибольшее или наименьшее значение) целевой функции: L=f(x₁,x₂,x₃,…x_n), где x_j — переменные, j = ; L, f, g_i — заданные функции от n переменных, b_i — фиксированные значения.

В системе ограничений, уравнения и неравенства, а также и целевая функция могут быть сколь угодной сложности.

Нелинейное программирование применяется при прогнозировании промышленного производства, управлении товарными ресурсами, планировании обслуживания и ремонта оборудования и т.д.

Для задачи нелинейного программирования нет единого метода решения.

В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, например, такие как:

~ методы множителей Лагранжа, ~ квадратичное и выпуклое программирование, ~ градиентные методы,

~ приближенные методы решения, ~ графический метод. ~ т.д.

Из нелинейного программирования наиболее разработаны задачи, в которых система ограничений линейная, а целевая функция нелинейная.

Однако даже для таких задач оптимальное решение может быть найдено для определенного класса целевых функций. В отличие от задач линейного программирования, где точками экстремума являются вершины многогранника решений, в задачах с нелинейной целевой функцией точки могут находиться внутри многогранника, на его ребре или в вершине.

При решении задач нелинейного программирования для целевой функции необходимо определить глобальный максимум или глобальный минимум.

Глобальный максимум функции - наибольшее значение из локальных максимумов.

Глобальный минимум функции - наименьшее значение из локальных минимумов.

Наличие локальных экстремумов затрудняет решение задач, так как большинство существующих методов нелинейного программирования не позволяет установить, является найденный экстремум локальным или глобальным. Поэтому имеется возможность в качестве оптимального решения принять локальный экстремум, который может существенно отличаться от глобального экстремума.