Целью работы являетсязакрепление на практике знаний математического аппарата, положенного в основу двумерных преобразований графических объектов (на примере преобразований треугольников).
Теоретическая справка. При двумерных преобразованиях графических объектов каждая точка P (x, y) на плоскости однозначно отображается содержащей однородные координаты этой точки матрицей (координатным вектором) размером 1´3 вида 
. Отрезку прямой между точками (x1, y1) и (x 2 , y2) ставится в соответствие 2´3 матрица вида 
. Многоугольник может быть представлен M ´3 матрицей (где M – число вершин многоугольника), содержащей однородные координаты его вершин: 
. Преобразования осуществляются путем умножения таких матриц на матрицу общего преобразования размером 3´3 вида 
. Результат преобразования зависит от конкретного вида матрицы преобразования. Если координатный вектор преобразованной точки 
содержит h ≠ 1 и h ≠ 0, результат нормализуют путем деления всех трех составляющих однородных координат на h, т.е. приводят к виду 
, где x* = x¢/h, y* = y¢/h. Равенство нулю координаты h в результате матричного умножения (координатный вектор преобразованной точки при этом имеет вид 
) свидетельствует о том, что исходная точка преобразована в точку бесконечности, лежащую на луче, который идет из начала координат через точку (x¢, y¢).
Матрицы простых двумерных преобразований графических объектов представлены в приложении 1.
Ряд последовательных преобразований объекта можно комбинировать: предварительно рассчитав матрицу полного преобразования путем перемножения в строгой последовательности матриц отдельных преобразований, применить ее для преобразования исходного объекта.
Рекомендации по выполнению лабораторной работы:
1. Согласуйте с ведущим преподавателем номер варианта, в соответствии с которым вы будете проводить исследования. Варианты заданий представлены в таблице 1. Ознакомьтесь с данным вариантом задания (с рекомендуемыми значениями координат вершин исходного треугольника и – при выполнении соответствующих пунктов программы – коэффициентов матрицы общего преобразования или иных параметров преобразования).
2. Осуществите следующие преобразования исходного треугольника, удаляя каждый раз перед очередным преобразованием результат предыдущего[1]:
a) локальное масштабирование по координатным осям x и y, используя одну матричную операцию;
b) симметричное отражение относительно оси x (или y);
c)симметричное отражение относительно точки начала координат (поворот на 180 °);
d) сдвиг вдоль оси x пропорционально координате y (или вдоль оси y пропорционально координате x);
e)поворот на 90 ° (или на – 90 °) относительно точки начала координат;
f) поворот на угол q относительно точки начала координат;
g) отражение относительно прямой линии у = x (или у = – x);
Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициентов левой верхней 2´2 подматрицы матрицы общего преобразования.
3. Реализуйте перемещения исходного треугольника вдоль координатных осей x и y, используя одну матричную операцию.
Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициентов левой нижней 1´2 подматрицы матрицы общего преобразования.
4. Осуществите поворот исходного треугольника вокруг точки с координатами (m,n) на угол q, используя при этом следующие последовательные преобразования:
a) переместите объект преобразования таким образом, чтобы точка, относительно которой совершается поворот, попала в начало координат;
b) выполните поворот объекта на требуемый угол вокруг точки начала координат;
c)осуществите обратное (по отношению к п/п. a) перемещение объекта.
5. Рассчитайте матрицу полного преобразования, реализованного в предыдущем пункте. Примените ее для преобразования исходного треугольника. Сравните результаты, полученные в настоящем и предыдущем пунктах.
Сформулируйте вывод о возможных путях реализации комбинаций двумерных преобразований.
6. Реализуйте симметричное отражение исходного треугольника относительно прямой линии 
, используя при этом следующие последовательные преобразования:
a) переместите объект преобразования вдоль оси x или y таким образом, чтобы прямая, относительно которой он отражается, прошла через точку начала координат;
b) поверните объект вокруг точки начала координат до совпадения прямой, относительно которой он отражается, с координатной осью x или y;
c) симметрично отразите объект относительно той оси, с которой в п/п. b совмещена прямая;
d) осуществите обратный (по отношению к п/п. b) поворот объекта;
e) осуществите обратное (по отношению к п/п. a) перемещение объекта.
7. Осуществите те же последовательные преобразования исходного треугольника, что и в пункте 6, но поменяв местами п/п.п. d и e. Сравните результаты полных преобразований, полученные в настоящем пункте и в пункте 6.
Сформулируйте вывод относительно коммутативности операции умножения матриц и, соответственно, о правилах реализации комбинаций преобразований.
8. Реализуйте по отношению к исходному треугольнику проецирование в однородных координатах.
Сделайте выводы о геометрическом смысле проведенного преобразования и процедуры нормализации результата умножения матриц. Сформулируйте также вывод относительно назначения коэффициентов правой верхней 2´1 подматрицы матрицы общего преобразования.
9. Осуществите общее масштабирование исходного треугольника.
Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициента правой нижней 1´1 подматрицы матрицы общего преобразования.
10. Реализуйте преобразование исходного треугольника, используя матрицу общего преобразования со значениями коэффициентов p и q, приведенными в последнем пункте варианта задания.
Сформулируйте вывод относительно результата преобразования третьей вершины треугольника.
Таблица 1.
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №2 Вариант задания №1 | |
| Координаты вершин исходного треугольника | |
| x1 = 20; y1 = 10; x2 = 40; y2 = 70; x3 = 100; y3 = 50 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 2; d = 1,5 * |
| 2d | c = 2 (или b = 1,5) * |
| 2f | q = 50° |
| m = 60; n = –80 * | |
| m = 10; n = 60; q = –75° | |
| k = 0,5; y0 = 60 | |
| p = 0,005; q = 0,002 * | |
| s = 0,6 * | |
| p = – 0,02; q = 0,02 * | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №2 Вариант задания №2 | |
| Координаты вершин исходного треугольника | |
| x1 = 10; y1 = 20; x2 = 60; y2 = 130; x3 = 170; y3 = 50 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 1,5; d = 2 * |
| 2d | c = 0,5 (или b = 1,5) * |
| 2f | q = 70° |
| m = 75; n = –140 * | |
| m = 20; n = 140; q = –85° | |
| k = 0,185; y0 = 130 | |
| p = 0,003; q = 0,002 * | |
| s = 0,7 * | |
| p = – 0,01; q = 0,014 * | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) | |
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №2 Вариант задания №3 | |
| Координаты вершин исходного треугольника | |
| x1 = 0; y1 = 0; x2 = –160; y2 = –170; x3 = –60; y3 = –170 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 2; d = 1,5 * |
| 2d | c = –2 (или b = –3) * |
| 2f | q = –41° |
| m = 190; n = 50 * | |
| m = 40; n = 70; q = –65° | |
| k = 1,06; y0 = –140 | |
| p = 0,006; q = –0,009 * | |
| s = –0,8 * | |
| p = –0,006; q = 0,008 * | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №2 Вариант задания №4 | |
| Координаты вершин исходного треугольника | |
| x1 = –90; y1 = 10; x2 = 40; y2 = 170; x3 = 150; y3 = 50 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 1,7; d = 2 * |
| 2d | c = –1,5 (или b = 0,8) * |
| 2f | q = –67° |
| m = –160; n = –200 * | |
| m = 40; n = 170; q = –72° | |
| k = 0,163; y0 = 175 | |
| p = – 0,001; q = 0,003 * | |
| s = 0,65 * | |
| p = – 0,01; q = 0,01 * | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) | |
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №2 Вариант задания №5 | |
| Координаты вершин исходного треугольника | |
| x1 = –50; y1 = 60; x2 = –80; y2 = –100; x3 = 140; y3 = 120 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 2; d = 2* |
| 2d | c = 1,4 (или b = 1,6) * |
| 2f | q = 38° |
| m = 90; n = –140 * | |
| m = 40; n = 120; q = –88° | |
| k = 1; y0 = –60 | |
| p = –0,001; q = 0,002 * | |
| s = 2 * | |
| p = –0,02; q = 0,015 * | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |
| Дисциплина: «Компьютерная графика» | |
| Лабораторная работа №2 Вариант задания №6 | |
| Координаты вершин исходного треугольника | |
| x1 = –165; y1 = –70; x2 = –70; y2 = –150; x3 = 160; y3 = –40 | |
| Пункт/подпункт программы работ | Параметры преобразования |
| 2a | a = 1,5; d = 1,5 * |
| 2d | c = –2 (или b = 0,5) * |
| 2f | q = 55° |
| m = 70; n = 150 * | |
| m = –50; n = –200; q = –53° | |
| k = 0,0925; y0 = –180 | |
| p = –0,0001; q = 0,0009 * | |
| s = 0,6 * | |
| p = –0,005; q =0,005 * | |
| * Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1) |
