риведение квадратичной формы к диагональному виду.

Определение. Пусть в евклидовом пространстве V ³задана декартова система координат (x, y, z), k ( ) – квадратичная форма, имеющая вид (12), A – её матрица.

Если в пространстве ввести другую систему координат, то тем же точкам будут соответствовать другие координаты, а значение функции в этих точках должно остаться прежним. Поэтому выражение (12) должно иметь другой вид. Пусть C – матрица перехода к новой системе координат (x ¢, y ¢, z ¢), а A ¢ – матрица квадратичной формы k ( ) относительно новой системы. Тогда матрицы A и A ¢ связаны между собой формулой

A ¢= C ^Т AC. (11)

Если новые координаты тоже являются декартовыми, то C – ортогональная матрица, т.е. C ^Т= C ^-1; в этом случае A ¢= C ^-1 AC. Именно по этому закону изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису. Поэтому мы можем сопоставить квадратичной форме (10) оператор, A: V ³ ® V ³ определяемый матрицей A относительно системы координат (x, y, z). Тогда в любой декартовой системе координат квадратичная форма k ( ) и поставленный ей в соответствие оператор будут иметь одинаковые матрицы (т.к. законы преобразования матриц одинаковы). Поскольку матрица A является симметрической, то оператор A будет самосопряженным.

Матрицу линейного оператора A можно привести к диагональному виду (5) с помощью выбора подходящего ортонормированного базиса B ¢= {, , }. Если сохранить прежнее начало координат, то этот базис оп-ределит в пространстве новую систему координат (x ¢, y ¢, z ¢), относительно которой матрица квадратичной формы будет иметь такой же диагональный вид, а, значит, сама квадратичная форма будет иметь диагональный вид

k ( ) =l₁ x ¢² + l₂ y ¢² + l₃ z ¢² (13)

В задачах на приведение квадратичной формы к каноническому виду обязательно нужно выписать формулы перехода от старых координат (x, y, z) к новым координатам (x ¢, y ¢, z ¢):

X ¢= C ^-1 X, (14)

или формулы перехода от новых координат к старым:

X = C X ¢, (14¢)

где C – матрица перехода, а X и X ¢ – координатные столбцы:

X =, X ¢=.

Напомним, если переход от одного аффинного базиса B = {, , } к другому аффинному базису B ¢= {, , } осуществляется по формулам

= c ₁¹ + c ₁² + c ₁³,

= c ₂¹ + c ₂² + c ₂³, (15)

= c ₃¹ + c ₃² + c ₃³,

то матрица C составляется следующим образом:

C =, (16)

Тогда в развернутом виде формулы (14¢) имеют вид:

x = c ₁¹ x ¢ + c ₂¹ y ¢ + c ₃¹ z ¢,

y = c ₁² x ¢ + c ₂² y ¢ + c ₃² z ¢, (14¢)

z = c ₁³ x ¢ + c ₂³ y ¢ + c ₃³ z ¢.

Предположим, что старая и новая системы координат являются декартовыми. Тогда, как уже отмечалось, матрица C перехода от старой системы координат к новой будет ортогональной, т.е. C ^Т= C ^-1. Поэтому формулы (14) принимают вид X ¢= C ^Т X и составляются особенно просто:

x ¢= c ₁¹ x + c ₁² y + c ₁³ z,

y ¢= c ₂¹ x + c ₂² y + c ₂³ z,

z ¢= c ₃¹ x + c ₃² y + c ₃³ z.

Для решения задач, связанных с приведением уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду, нам понадобятся именно формулы (14¢), выражающие старые координаты через новые.

Пример 3. В пространстве V ³ квадратичная форма k () определяется относительно декартовой системы координат (x, y, z) формулой

k ( ) = 3 y ² + 4 xy - 2 xz - 4 yz.

С помощью выбора новой системы координат (x ¢, y ¢, z ¢) привести k () к диагональному виду.

Решение. Составим матрицу квадратичной формы k () относительно системы координат (x, y, z). Имеем 3 = a ₂₂, 4 = 2 a ₁₂, -2 = 2 a ₁₃, - 4 = 2 a ₂₃, а т.к. x ² и y ² отсутствуют, то a ₁₁= a ₃₃ = 0. Итак,

A =.

Мы видим, что матрица A совпадает с матрицей из примера 2, находим собственные числа и соответствующие им собственные векторы

l₁ = -1,,

l₂ = -1,,

l₃ = 5,,

Тогда, если выбрать новую систему координат (x ¢, y ¢, z ¢) с тем же началом, но определяемую базисом B ¢= {, , }, то квадратичная форма k ( ) примет диагональный вид

k () = - x ¢² - y ¢² + 5 z ¢².

Новые координаты выражаются через старые по формулам:

x ¢= x + z,

y ¢= x - y - z,

z ¢= x + y - z,

Старые координаты выражаются через новые по формулам:

x = x ¢ + y ¢ + z ¢,

y = - y ¢ + z ¢, (17)

z = x ¢ - y ¢ - z ¢,