Определение. Пусть в евклидовом пространстве V 3задана декартова система координат (x, y, z), k ( ) – квадратичная форма, имеющая вид (12), A – её матрица.
Если в пространстве ввести другую систему координат, то тем же точкам будут соответствовать другие координаты, а значение функции в этих точках должно остаться прежним. Поэтому выражение (12) должно иметь другой вид. Пусть C – матрица перехода к новой системе координат (x ¢, y ¢, z ¢), а A ¢ – матрица квадратичной формы k ( ) относительно новой системы. Тогда матрицы A и A ¢ связаны между собой формулой
A ¢= C Т AC. (11)
Если новые координаты тоже являются декартовыми, то C – ортогональная матрица, т.е. C Т= C -1; в этом случае A ¢= C -1 AC. Именно по этому закону изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису. Поэтому мы можем сопоставить квадратичной форме (10) оператор, A: V 3 ® V 3 определяемый матрицей A относительно системы координат (x, y, z). Тогда в любой декартовой системе координат квадратичная форма k ( ) и поставленный ей в соответствие оператор будут иметь одинаковые матрицы (т.к. законы преобразования матриц одинаковы). Поскольку матрица A является симметрической, то оператор A будет самосопряженным.
Матрицу линейного оператора A можно привести к диагональному виду (5) с помощью выбора подходящего ортонормированного базиса B ¢= {, , }. Если сохранить прежнее начало координат, то этот базис оп-ределит в пространстве новую систему координат (x ¢, y ¢, z ¢), относительно которой матрица квадратичной формы будет иметь такой же диагональный вид, а, значит, сама квадратичная форма будет иметь диагональный вид
k ( ) =l1 x ¢2 + l2 y ¢2 + l3 z ¢2 (13)
В задачах на приведение квадратичной формы к каноническому виду обязательно нужно выписать формулы перехода от старых координат (x, y, z) к новым координатам (x ¢, y ¢, z ¢):
X ¢= C -1 X, (14)
или формулы перехода от новых координат к старым:
X = C X ¢, (14¢)
где C – матрица перехода, а X и X ¢ – координатные столбцы:
X =, X ¢=.
Напомним, если переход от одного аффинного базиса B = {, , } к другому аффинному базису B ¢= {, , } осуществляется по формулам
= c 11 + c 12 + c 13,
= c 21 + c 22 + c 23, (15)
= c 31 + c 32 + c 33,
то матрица C составляется следующим образом:
C =, (16)
Тогда в развернутом виде формулы (14¢) имеют вид:
x = c 11 x ¢ + c 21 y ¢ + c 31 z ¢,
y = c 12 x ¢ + c 22 y ¢ + c 32 z ¢, (14¢)
z = c 13 x ¢ + c 23 y ¢ + c 33 z ¢.
Предположим, что старая и новая системы координат являются декартовыми. Тогда, как уже отмечалось, матрица C перехода от старой системы координат к новой будет ортогональной, т.е. C Т= C -1. Поэтому формулы (14) принимают вид X ¢= C Т X и составляются особенно просто:
x ¢= c 11 x + c 12 y + c 13 z,
y ¢= c 21 x + c 22 y + c 23 z,
z ¢= c 31 x + c 32 y + c 33 z.
Для решения задач, связанных с приведением уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду, нам понадобятся именно формулы (14¢), выражающие старые координаты через новые.
Пример 3. В пространстве V 3 квадратичная форма k () определяется относительно декартовой системы координат (x, y, z) формулой
k ( ) = 3 y 2 + 4 xy - 2 xz - 4 yz.
С помощью выбора новой системы координат (x ¢, y ¢, z ¢) привести k () к диагональному виду.
Решение. Составим матрицу квадратичной формы k () относительно системы координат (x, y, z). Имеем 3 = a 22, 4 = 2 a 12, -2 = 2 a 13, - 4 = 2 a 23, а т.к. x 2 и y 2 отсутствуют, то a 11= a 33 = 0. Итак,
A =.
Мы видим, что матрица A совпадает с матрицей из примера 2, находим собственные числа и соответствующие им собственные векторы
l1 = -1,,
l2 = -1,,
l3 = 5,,
Тогда, если выбрать новую систему координат (x ¢, y ¢, z ¢) с тем же началом, но определяемую базисом B ¢= {, , }, то квадратичная форма k ( ) примет диагональный вид
k () = - x ¢2 - y ¢2 + 5 z ¢2.
Новые координаты выражаются через старые по формулам:
x ¢= x + z,
y ¢= x - y - z,
z ¢= x + y - z,
Старые координаты выражаются через новые по формулам:
x = x ¢ + y ¢ + z ¢,
y = - y ¢ + z ¢, (17)
z = x ¢ - y ¢ - z ¢,
