обственные числа и собственные векторы линейного оператора 4

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Методические указания и задания
для студентов II курса
математического факультета

 

 

Витебск

Издательство УО «ВГУ им. П.М. Машерова»

2009

 

Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических наук М.Н. Подоксенов

 

Рецензент: доцент кафедры прикладкой математики УО «ВГУ им. П.М. Машерова», кандидат физико-математичес-ких наук Л.В. Командина

 

 

	Подоксенов М.Н. Квадратичные формы. Приведение уравнения ривой и поверхности второго порядка к каноническому виду: методические указания и задания для студентов II курса математического факультета/ М.Н.Подоксенов.– Витебск: УО «ВГУ им. П.М.Машерова, 2008. – 30 с.
Методические указания подготовлены в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Геометрия» для студентов II курса математического факультета обучающихся по специальности «математика и информатика». Излагаются примеры решения задач и задания для самостоятельного решения по теме «Квадратичные формы. Приведение уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду». Рекомендуется использовать данные методические указания для обеспечения самостоятельной работы студентов физического факультета.

 

 

УДК

ББК

 

ã Подоксенов М.Н., 2009

ã УО «ВГУ им. П.М.Машерова, 2009

одержание.

обственные числа и собственные векторы линейного оператора 4

§2. Самосопряженный оператор. 7

§3. Билинейная функция и квадратичная форма. 11

§4. Приведение квадратичной формы к диагональному виду. 12

§5. Приведение уравнений кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. 15

Приложение 1. Список кривых второго порядка. 27

Приложение 2. Список поверхностей второго порядка. 28

Задания для самостоятельного решения. 29

Литература. 30

 

§1. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение. Пусть V – векторное пространство, а A : V ® V – линейный оператор, действующий в нём. Числоlназывается собственным числом или собственным значением оператора A, если существует ненулевой вектор u,такой что

A u = l u. (1)

В этом случае u называется собственным вектором оператора A, соответствующим числу l.

Мы рассмотрим только операторы, действующие в трехмерном евклидовом векторном пространстве V ³, элементами которого являются векторы из геометрического пространства. Поэтому векторы будут обозначаться со стрелочкой. При этом всё сказанное будет верно с небольшими изменениями и для операторов, действующих в V ² (элементами которого являются векторы на плоскости). Пусть B = { i, j, k } – ортонормированный базис пространства V ³. Матрицу оператора A относительно этого базиса обозначим A. Пусть (x, y, z) – координаты вектора относительно данного базиса. Тогда равенство (1) можно переписать в координатах:

= l.

Если перемножить матрицы и перенести все члены в левую часть, получим систему однородных уравнений

(a ₁₁ - l) x + a ₁₂ y + a ₁₃ z = 0,

a ₂₁ x + (a ₂₂ - l) y + a ₂₃ z = 0, (2)

a ₃₁ x + a ₃₂ y + (a ₃₃ - l) z = 0.

Как известно, она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

det = 0. (3)

Раскрывая определитель, мы получим кубическое уравнение относительно l, которое называется характеристическим уравнением оператора A. Пусть l₁, l₂, l₃ – корни этого уравнения.

Подставим l₁ в систему (2) и найдём ненулевое решение (x ₁, y ₁, z ₁). Тогда (x ₁, y ₁, z ₁) есть собственный вектор оператора A, соответствующий числу l₁. Затем, подставляя по очереди l₂ и l₃, находим соответствующие им собственные векторы (x ₂, y ₂, z ₂) и (x ₃, y ₃, z ₃). При этом каждый из векторов определяется с точностью до умножения на ненулевую постоянную, т.е. вектор k (x_i, y_i, z_i) будет решением системы (2) для l = l _i при любом k ¹0. Но нам достаточно иметь хотя бы одно решение для каждого из собственных чисел l₁, l₂, l₃.

Кубическое уравнение (3) обязательно имеет хотя бы одно действительное решение l₁, а l₂ и l₃ могут быть комплексными (при этом они обязательно будут комплексно сопряжены друг к другу: l₃ = ). В этом случае оператор A будет иметь только один действительный собственный вектор (x ₁, y ₁, z ₁).

Напомним, что если a, b, c – корни кубического уравнения

x ³ + px ² + qx + r = 0,

то его можно преобразовать к виду

(x – a)(x – b)(x – c) = 0.

Если же кубическое уравнение имеет только два действительных корня a и b, то его можно преобразовать к виду

(x – a)(x – b)² = 0 (или (x – a)²(x – b) = 0).

В этом случае говорят, что корень b (или a) имеет кратность 2. Если кубическое уравнение имеет только один корень a, то его можно преобразовать к виду

(x – a)³ = 0.

Тогда говорят, что корень a имеет кратность 3.

Уравнение (3) тоже может иметь кратные корни. Пусть, например, корень l₁ имеет кратность 1, а корень l₂ – кратность 2. При подстановке l₂ в (2) может получится система уравнений, имеющая ранг 2. Тогда у оператора A будет только два собственных вектора и. При подстановке l₂ в (2) может получиться система линейных уравнений, имеющая ранг 1. Тогда мы можем найти два неколлинеарных собственных вектора и, координаты которых удовлетворяют этой системе. Тогда любой вектор, компланарный с и, будет собственным вектором для оператора A, соответствующим собственному числу l₂. Мы можем записать, что оператор A имеет собственные векторы

(x ₁, y ₁, z ₁),

= k + l = (kx ₂ + lx ₃, ky ₂ + ly ₃, kz ₂ + lz ₃), k, l Î R.

Пусть уравнение (3) имеет один трехкратный корень l₁. Тогда при подстановке его в (2) можем получить систему уравнений ранга 2, 1 или 0. В первом случае оператор будет иметь один собственный вектор, а во втором – бесконечно много собственных векторов, и все они будут иметь вид

= k + l, k, l Î R,

где и – два произвольных неколлинеарных вектора, координаты которых удовлетворяют системе (2). Случай, когда при подстановке трехкратного корня система (2) будет иметь ранг 0, возможен лишь тогда, когда матрица A пропорциональна единичной: A = l₁ E. Тогда любой вектор для оператора A будет собственным.

Найденные собственные числа и собственные векторы для оператора A называются также собственными числами и собственными векторами матрицы A. Однако, когда речь идет об операторе, надо помнить, что его матрица зависит от выбора базиса в пространстве V ³ и, соответственно, собственные векторы относительно другого базиса будут иметь другие координаты. Собственные числа оператора не зависят от выбора базиса и, поэтому, коэффициенты характеристического многочлена тоже не зависят от этого.

Пример 1. Найти собственные числа и собственные векторы оператора A: V ³ ® V ³, если относительно заданного в пространстве V ³ базиса он определяется матрицей

A =.

Решение. 1. Составим матрицу A – l E:

A – l E =. (4)

Найдем собственные числа матрицы A из уравнения det(A – l E) = 0. Вычислив определитель, получим уравнение

(–8 – l)(l² – 3l – 4) = 0 .

Отсюда находим корни l₁= -8, l₂ = 4, l₃ = –1.

2. Подставим в матрицу (4) значение l₁= -8:

A + 8 E =.

Составим однородную систему уравнений по этой матрице:

9 y + 3 z = 0,

2 y + 10 z = 0.

Отсюда находим единственное решение y = z = 0. Получается, что в качестве вектора нужно взять нулевой? Нет! У нас отсутствует какое-либо ограничение на переменную x. Поэтому можем взять (1, 0, 0).

3. Подставим в матрицу (4) значение l₂ = 4 и по получившейся матрице составим однородную систему линейных уравнений:

A - 4 E =,

Второе и третье уравнения пропорциональны. Поэтому одно из них можем вычеркнуть. Из оставшихся уравнений находим, что x = 0, y = z. Поэтому в качестве второго собственного вектора можем взять (0, 1, 1).

4. Для l₃ = –1 аналогично находим (0, 1, 1).

Ответ: l₁= -8, (1, 0, 0);

l₂ = 4, (0, 1, 1);

l₃ = –1, (0, 1, 1).

Во второй главе будет разобран еще один пример решения подобной задачи, причем, в этом примере одно из собственных чисел будет иметь кратность 2.

амосопряженный оператор.

Определение. Оператор B: V ³ ® V ³ называется сопряженным к оператору A: V ³ ® V ³, если для любых векторов, Î V ³ выполнено

(A)·= · (B).

(точка обозначает скалярное произведение векторов). Тогда обозначаем B =A ^*. Оператор A называется самосопряженным,если A ^* = A.

Если A – матрица оператора A относительно ортонормированного базиса { i, j, k }, то матрицей оператора A ^* относительно того же базиса будет A ^T. Поэтому для матрицы самосопряженного оператора относительно ортонормированного базиса должно быть выполнено A ^T= A. Значит, матрица самосопряжённого оператора является симметрической (относительно ОНБ).

Оказывается, что собственные числа самосопряженного оператора A всегда являются действительными, а собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны друг другу. Поэтому характеристическое уравнение (3) для самосопряжённого оператора (т.е. для симметрической матрицы) всегда имеет три действительных корня, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. При этом мы всегда можем найти 3 линейно независимых собственных векторов оператора A. Это означает, что существует базис пространства V ³, состоящий из собственных векторов оператора A.

Пусть {, , } - базис в V ³, состоящий из собственных векторов оператора A, и l₁, l₂, l₃ – соответствующие собственные числа. Тогда имеем

A = l₁

A = l₂

A = l₃

А это означает, что относительно базиса {, , } оператор A имеет диагональную матрицу

A =. (5)

Поскольку векторы k, l, m тоже будут собственными для любых ненулевых k, l, m Î R, мы можем в качестве базисных выбрать единичные векторы

=, =, =.

Тогда базис {, , } будет ортонормированным.

Пример 2. Самосопряженный оператор A: V ³ ® V ³ действует по формулам:

A = 2 j - k

A = 2 i + 3 j - 2 k

A = - i - 2 j.

Путём выбора нового ортонормированного базиса в пространстве V ³, привести матрицу оператора A к диагональному виду.

Решение. 1. Составим матрицу A оператора A относительно базиса { i, j, k } и матрицу A -l E:

A =, A – l E =

(матрица оператора выписывается по принципу: строчка – в столбец; но в нашем случае матрица симметрическая). Определитель det(A – l E) можно вычислить непосредственно, но зачастую это приводит к очень длительным вычислениям. Поэтому удобнее использовать следующую формулу:

det(A – l E) = -l³ + (tr A)l² - I₂(A)l + det A. (6)

Здесь tr A = a ₁₁ + a ₂₂ + a ₃₃ - след матрицы A (т.е. сумма её диагональных элементов), а

I₂(A) = + + –

сумма диагональных миноров матрицы A. Схематично последнюю формулу можно изобразить так:

I₂(A) = + +

В нашем случае находим tr A =0+3+0=3, det A = 5,

I₂(A) = + + = –9.

Получаем характеристическое уравнение

-l³ + 3l² + 9l + 5 = 0 Û l³ - 3l² - 9l - 5 = 0. (7)

Один из корней мы можем найти подбором: l₁ = –1. Затем делим характеристический многочлен на l – l₁:

-

-

-

0

Значит уравнение (7) эквивалентно следующему:

(l + 1)(l² - 4l - 5) = 0.

Теперь находим оставшиеся корни: l₂ = -1, l₃ = 5. Мы видим, что у нас есть кратный корень:.

2. Так же, как и в примере 1, находим собственный вектор (1, 2,-1), соответствующий собственному числу l₃ = 5.

3. Найдем собственные векторы для l₁ = l₂ = -1. Наша задача: найти для каждого из чисел l₁ и l₂ в отдельности свой собственный вектор и, так чтобы эти векторы были перпендикулярны друг другу.

A - (-1) E =,

Получившаяся система уравнений имеет ранг 1, т.е. все уравнения системы пропорциональны, поэтому второе и третье уравнения можем вычеркнуть. В случае самосопряженного оператора система уравнений, соответствующая двукратному корню всегда имеет ранг 1. Итак, у нас есть только одно уравнение:

x + 2 y - z = 0, (8)

Подбором мы можем найти (1, 0, 1), (0, 1, 2). Тогда общий вид всех собственных векторов, соответствующих l₁ = l₂ = -1, будет

= k + l = (k, l, k + 2 l), k, l Î R. (9)

Если бы задача формулировалась так же, как в примере 1, то на этом следовало бы закончить. Но для самосопряженного оператора необходимо еще найти ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Поэтому повторимся ещё раз: нам надо найти для каждого из чисел l₁ и l₂ в отдельности свой собственный вектор и, так чтобы эти векторы были перпендикулярны друг другу. Поэтому мы поступаем иначе. Только вектор (1, 0, 1) мы находим подбором. Неизвестный вектор (x, y, z) должен удовлетворять условию (8), но дополнительно должно выполняться условие ортогональности:

(1, 0, 1)· (x, y, z) = 0.

Итак, (x, y, z) мы находим из системы

x + 2 y - z = 0,

(1, 0, 1)· (x, y, z) = 0.

Второе условие в координатах имеет вид x + z = 0. Поэтому мы имеем систему для нахождения:

x + 2 y - z = 0,

x + z = 0.

Находим y = - x, z = - x. Поэтому можем взять (1,-1,-1).

Теперь нормируем найденные векторы, т.е мы найдём единичные векторы, коллинеарные найденным собственным векторам:

|| = =, =

|| = =, =

|| = =, =

Ответ: Относительно нового базиса, составленного из векторов

,,,

матрица оператора A будет иметь вид

A = .

§3. Билинейная функция и квадратичная форма

Определение. Пусть L – векторное пространство. Билинейной функцией, определённой на L называется отображение f: L ´ L ® R, сопоставляющее каждой паре векторов (x, y) число f (x, y), и при этом линейное по обоим аргументам; т.е. должны выполняться свойства

1. f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z); f (x, y + z) = f (x, y) + f (x, z);

2. f (l x, y) =l f (x, y) = f (x, l y), lÎ R.

Билинейная функция называется симметрической, если f (y, x) = f (x, y) " x, y Î L.

Пусть L ³ – трёхмерное векторное пространство, B = { e ₁, e ₂, e ₃} – базис в нём. Пусть x (x ₁, x ₂, x ₃), y (y ₁, y ₂, y ₃) – произвольные векторы. Тогда по свойствам линейности

f (x, y) = f (x ₁ e ₁ + x ₂ e ₂ + x ₃ e ₃, y ₁ e ₁ + y ₂ e ₂ + y ₃ e ₃) = x_iy_jf (e _i, e _j).

Определение. Обозначим a_ij = f (e _i, e _j), i, j = 1, 2, 3. Это числа, которые не зависят от координат векторов x, y, а зависят только от выбора базиса. Они называются коэффициентами билинейной функции в данном базисе.

Тогда билинейная функция выглядит так:

f (x, y) = a_ijx_iy_j = a ₁₁ x ₁ y ₁ + a ₁₂ x ₁ y ₂ + a ₁₃ x ₁ y ₃ + a ₂₁ x ₂ y ₁ + a ₂₂ x ₂ y ₂ + a ₂₃ x ₂ y ₃ +

+ a ₃₁ x ₃ y ₁ + a ₃₂ x ₃ y ₂ + a ₃₃ x ₃ y ₃.

Из коэффициентов билинейной функции составляется матрица, которая называется матрицей этой билинейной функции в данном базисе. Если билинейная функция является симметрической, то

a_ji = f (e _j, e _i)= f (e _i, e _j) = a_ij, i, j = 1, 2, 3.

Это означает, что матрица симметрической билинейной функции является симметрической матрицей. Симметрическая билинейная функция в трёхмерном пространстве выглядит так:

f (x, y) = a ₁₁ x ₁ y ₁ + a ₂₂ x ₂ y ₂ + a ₃₃ x ₃ y ₃ +

+ a ₁₂(x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁) + a ₁₃(x ₁ y ₃ + x ₃ y ₁) + a ₂₃(x ₂ y ₃ + x ₃ y ₂). (10)

В двумерном пространстве:

f (x, y) = a ₁₁ x ₁ y ₁ + a ₂₂ x ₂ y ₂ + a ₁₂(x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁).

Определение. Пусть f (x, y) – симметрическая билинейная функция. Тогда функция одного векторного аргумента k: L ® R, k (x) = f (x, x) называется квадратичной формой. При этом, билинейная функция f (x, y) называется полярной к квадратичной форме k (x). Матрицей квадратичной формы называется матрица полярной ей симметрической билинейной функции.

Для того, чтобы узнать, как выглядит квадратичная форма в L ³, надо в (10) подставить y = x:

k (x) = a ₁₁ x ₁²+ a ₂₂ x ₂²+ a ₃₃ x ₃²+ 2 a ₁₂ x ₁ x ₂ + 2 a ₁₃ x ₁ x ₃ + 2 a ₂₃ x ₂ x ₃. (11)

Если квадратичная форма задана в V ³, где введены декартовы координаты (x, y, z), то

k ( ) = a ₁₁ x ²+ a ₂₂ y ²+ a ₃₃ z ²+ 2 a ₁₂ xy + 2 a ₁₃ xz + 2 a ₂₃ yz. (12)

Обратим особое внимание на то, что при составлении матрицы квадратичной формы коэффициенты при xy, xz, yz следует делить пополам и каждое из полученных чисел записывается в матрицу дважды. Например, коэффициент a ₁₂ записывается также и на место с номерами 21:

A =.