оверительные интервалы для оценки неизвестного
математического ожидания нормального распределения при известном σ
Пусть количественный признак ξ генеральной совокупности распределен нормально, причем известно σ – среднее квадратичное отклонение этого распределения. Оценим неизвестное математическое ожидание a по выборочной средней xв, т.е. найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью γ. Будем рассматривать xв как СВ ξ (т.е. xв меняется от выборки к выборке), а выборочные значения признака х1,х2, … хn – как одинаково распределенные (т.е. имеющие одну и ту же функцию распределения F (x)) независимые в совокупности случайные величины ξ1,ξ2,…ξn (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Тогда
11 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ
Пусть количественный признак ξ генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем σ неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a с помощью доверительных интервалов с заданной доверительной вероятностью (надежностью) γ.
пределение объема выборки.
13 Понятие статистических гипотез их виды. Понятие ошибки первого и второго рода.
Все выводы, которые делаются в МС, вообще говоря, являются гипотезами, т.е. предположениями о неизвестных параметрах известных распределений, об общем виде неизвестного теоретического распределения или функции распределения изучаемой СВ. Такие гипотезы называют статистическими гипотезами.
Различают простые и сложные, параметрические и непараметрические статистические гипотезы.
Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет закон распределения СВ. Сложной называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, гипотезы "вероятность появления события A в схеме Бернулли равна 1/3", "закон распределения СВ – нормальный с параметрами a=0, σ2 =1” являются простыми в отличие от сложных гипотез: "вероятность появления события 12=σ A в схеме Бернулли заключена между 1/3 и 1/2", "закон распределения СВ не является нормальным". Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое условие о значении параметра известного распределения. Гипотезу, в которой сформулированы предположения относительно вида распределения, называют непараметрической.
Если исследовать всю генеральную совокупность, то, естественно, можно было бы наиболее точно установить справедливость выдвигаемой гипотезы. Однако такое исследование не всегда возможно, и суждение об истинности статистических гипотез проверяется на основании выборки.
Выдвигаемую (проверяемую) гипотезу называют основной или нулевой гипотезой H0 . Если, например, по полигону или гистограмме частот, построенным по некоторой выборке, можно предположить, что СВ распределена по нормальному закону, то может быть выдвинута гипотеза H0 : a = a0 , σ = σ0. Одновременно с гипотезой H0 выдвигается альтернативная (конкурирующая) гипотеза H1 . Если гипотеза H0 будет отвергнута, то имеет место конкурирующая ей гипотеза.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H1, являющуюся логическим отрицанием H0. Нулевая H0 и альтернативная H1 гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. Например, если, H0:θ=θ0 то альтернативная гипотеза может иметь вид H1: θ≠θ0, H1:θ<θ0 или H1: θ>θ0.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, в связи с чем возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку осуществляют статистическими методами, ее называют статистической. В результате статистической проверки гипотезы неправильное решение может быть принято в двух случаях: с одной стороны, на основании результатов опыта можно отвергнуть правильную гипотезу; с другой – можно принять неверную гипотезу. Очевидно, последствия этих ошибок могут оказаться различными. Отметим, что правильное решение может быть принято также в двух случаях:
1) гипотеза принимается, и она в действительности является правильной;
2) гипотеза отвергается, и она в действительности не верна.
По полученным значениям статистики основная гипотеза принимается или отклоняется. При этом, так как выборка носит случайный характер, могут быть допущены два вида ошибок:
–может быть отвергнута правильная гипотеза, в этом случае допускается ошибка первого рода,
–может быть принята неверная гипотеза, тогда допускается ошибка второго рода.
