Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами порядка выше 1-ого. Случай комплексных корней характеристического многочлена (в том числе и кратных).

Имеем ур – ие , где вещественные постоянные, .
Для нахождения общего решения составим характеристическое ур – ие:

.

Вид общего решения зависит от типа корней:

1. комплексные, остальные – вещественные.

2.

кратный корень.

 

23. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами n -ого порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

Линейное ДУ с постоянными коэф – ми ого порядка:

, где вещественные постоянные,

, непрерывна на некотором отрезке .

Общее решение такого ур – ия имеет вид:

решение общее неоднородное

решение общее однородное

решение частное неоднородное

составляется с помощью корней соответствующего характеристического ур – ия

зависит от вида правой части ().

Метод вариации постоянных

Предположим, что известно и представляется формулой

Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел мы рассматриваем функции . Эти функции подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло исходному неоднородному уравнению.

Производные неизвестных функций определяются из системы уравнений:

Определителем этой системы является вронскиан функций , образующих фундаментальную систему решений. В силу линейной независимости этих функций определитель не равен нулю и данная система однозначно разрешима. Окончательные выражения для функций находятся в результате интегрирования.

 

24. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Вид частного решения для всех случаев (таблица для поиска решений).

Линейное ДУ с постоянными коэф – ми ого порядка:

, где вещественные постоянные,

, непрерывна на некотором отрезке .

Общее решение такого ур – ия имеет вид:

зависит от вида правой части ().

Если специальная, то решение ищется при помощи таблицы (специальная означает, что ее общий вид представлен в таблице):

 

 

25. Метод Лагранжа решения ОДУ n -ого порядка с произвольной непрерывной правой частью.

// Смотреть ответ на вопрос 23, все то же самое.

 

26. Система ДУ в канонической форме, их связь с ДУ n -ого порядка (алгоритм приведения).

Система ОДУ

разрешенная относительно старших производных , называется канонической системой. Эта система имеет вид:

Порядком канонической системы называется число , равное:

Алгоритм приведения системы ДУ ого порядка к системе канонического вида:

1. Определить порядок системы, т.е. найти и сложить.

2. Выразить ур – ия относительно старших производных от до и записать в систему.