Пусть имеем конечную систему из 
функций 
, определенных на интервале 
. Функции называют линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные 
, не все равные нулю, такие, что для всех значений 
из этого интервала справедливо тождество
Если же это тождество выполняется только при 
, то ф – ии называют линейно независимыми на интервале .
Пусть ф – ий имеют производные 
порядка. Определитель
Называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского является ф – ей от , определенной в некотором интервале.
19. Структура общего решения линейного ОДУ n -порядка. Свойства линейного дифференциального оператора n -порядка. Принцип суперпозиции.
Имеем ур – ие 
, где 
вещественные постоянные, 
.
Для нахождения общего решения составим характеристическое ур – ие:
.
Вид общего решения зависит от типа корней:
1. 
, 
вещественные и различные.
2. 
, вещественные, но среди них есть кратные (
кратных и 
).
3. 
комплексные, остальные – вещественные.
4. 
кратный корень.
Линейным дифференциальный оператор n -го порядка:
Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:
а) Если 
— два решения однородного линейного уравнения 
, то их линейная комбинация 
при любых постоянных 
является решением однородного уравнения.
б) Если — два решения неоднородного линейного уравнения
, то их разность 
является решением однородного уравнения .
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
Принцип суперпозиции:
Если — решения неоднородных линейных уравнений
и 
, то их сумма 
является решением уравнения
.
20. Линейные ОДУ с переменными коэффициентами. Нахождение общего решения для уравнения 2-го порядка с переменными коэффициентами по одному известному частному решению.
Если известно частное решение 
ур – ия 
, то можно понизить его порядок на единицу, не нарушая линейности ур – ия, полагая 
, где 
новая неизвестная ф – ия, сделав затем замену 
или сразу 
.
Если известно 
частных л.н.з. решений, то порядок ур – ия можно понизить на единиц.
Для ур – ия 
общее решение таково:
общее решение соответствующего однородного ур – ия.
Для нахождения общего решения неоднородного ур - ия при известной фундаментальной системе используется метод Лагранжа (метод вариации постоянных).
Для ур – ия 2 – го порядка:
общий вид ур – ия второго порядка.
вид общего реш –ия соответствующего однородного ур – ия.
вид реш – ия неоднородного ур – ия, 
некоторые неизвестные ф – ии. Для их определения составляется система:
Тогда 
где 
определитель Вронского.
