Однородные ОДУ 1-ого порядка. Приведение их к уравнениям с разделяющимися переменными.

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ).

К понятию обыкновенного дифференциального уравнения приводят физические и геометрические задачи.

Физическая задача. Найти закон движения материальной точки под действием силы тяжести.

Решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения.

Уравнение, описывающее свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления является ОДУ и может быть записано в виде:

2. Определение ОДУ. Порядок ОДУ. Задача Коши для уравнения n -ого порядка. Общие и частные решения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные , т.е. уравнение вида

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Задача Коши для любого дифференциального уравнения n -го порядка

.

Общим решением ДУ называется ф – ия , зависящая от одной произвольной постоянной С.

Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при каком – либо определенном значении С.

Геометрический смысл уравнения 1-ого порядка. ОДУ 1-ого порядка, его геометрический смысл. Изоклины.

Общий вид ДУ 1 – ого порядка: . => . Уравнение в каждой точке области D, в которой задана функция , определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку , т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. (Геом. смысл)

Задачи построения интегральной кривой часто решают методом введения изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление.

4. Теорема Коши существования и единственности решения ОДУ 1-ого порядка, разрешённого относительно производной. ОДУ с разделяющимися переменными.

Пусть дано ДУ , где функция определена в некоторой области D плоскости , содержащей точку . Если удовлетворяет условиям:

А) – непрерывная ф-я 2 – х переменных в области D.

Б) имеет частную производную ограниченную в D, то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Уравнение, в котором коэф – ты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от , называется ур – ем с разделяющимися переменными. Общий интеграл такого ур – ия имеет вид:

Однородные ОДУ 1-ого порядка. Приведение их к уравнениям с разделяющимися переменными.

Функция называется однородной ф – ией своих аргументов измерения n, если справедливо тождество .

Путем замены однородное ОДУ 1 – ого порядка приводится к ур – ию с разделяющимися переменными.

6. Уравнения вида: y’ = f [ (a₁x + b₁y + c₁) / (a₂x + b₂y +c₂) ].

если , то ур – ие однородное и решается с помощью замены . Если хоть одно с отлично от нуля, то ур – ие приводится к однородному.

Если , то вводим новые переменные ,

Если , то , тогда исходное ур – ие имеет вид:

, с помощью подстановки приводим его к ур – ию с разделяющимися переменными.