Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче – это значит выбрать функцию, характеризующую физический процесс и затем:
а) записать дифференциальное уравнение для этой функции;
б) установить для нее граничные условия;
в) сформулировать начальные условия.
Уравнения и граничные условия краевых задач, например, теории теплопроводности, являются следствием:
1) закона сохранения энергии;
2) закона внутренней теплопроводности в твердых телах (закона Фурье), который в одномерном случае выражается следующим образом:
,
где q – количество тепла, протекающего в единицу времени в направлении оси x через единицу площади;
u – температура в рассматриваемом месте тела;
λ – коэффициент теплопроводности, который зависит от физических свойств тела и от температуры u; но при решении данных задач зависимостью λ от температуры пренебрегаем.
3) закона конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей его газообразной или жидкой средой (закон Ньютона), который выражается формулой
,
где q – количество тепла, протекающего в единицу времени через единицу площади поверхности тела в окружающую среду;
– коэффициент теплоотдачи;
u – температура поверхности тела;
θ – температура окружающей среды.
Рассмотрим подробнее, как записываются граничные условия. Они различаются в зависимости от температурного режима на границах рассматриваемой области. Обычно рассматривают три основных типа граничных условий (ограничимся одномерным случаем):
I. Задается температура на поверхности тела. Например, на конце стержня (при x = 0) задана температура
. (18.7)
II. Задается поток тепла через поверхности тела (в случае теплоизолированного с боковой поверхности стержня – величина теплового потока, протекающего через торцевое сечение стержня). Например, на концах 
, (18.8)
где 
– известная функция, выражающаяся через заданный тепловой поток и коэффициент теплопроводности по формуле
.
Если какой либо конец стержня теплоизолирован, то граничное условие примет вид
. (18.9)
III. На поверхности тела происходит теплообмен со средой, имеющей температуру 
, по закону Ньютона (согласно которому поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды). Математическая формулировка третьего граничного условия (на конце стержня ) имеет вид:
, (18.10)
где – коэффициент теплоотдачи.
Условия (18.7) – (18.9) также можно рассматривать как частный случай общих условий (18.4).
Поток тепла считается положительным, если тепло уходит из стержня в окружающую среду (u > θ), и отрицательным – в противоположном случае.
Согласно закону сохранения энергии количество уходящего тепла должно быть равно потоку тепла, проходящего через рассматриваемое торцевое сечение в силу теплопроводности стержня.
Пусть начало стержня совпадает с началом координат (x = 0), а конец его имеет абсциссу . Тепловой поток, проходящий через поперечное сечение стержня в направлении оси 0 x, равен 
. На правом конце стержня направление потока, поступающего во внешнюю среду, совпадает с направлением оси 0 x, а поток равен 
. На левом конце эти направления противоположны и поэтому тепловой поток равен 
. Будем считать, что внешние среды на концах стержня разные, поэтому могут быть различными и θ. Пусть на правом конце 
, 
, а на левом 
, 
. В этом случае граничные условия на торцевых сечениях можно записать в следующем виде
,
(18.11)
,
где 
, 
– заданные температуры внешней среды, которые являются известными функциями от времени t.
Граничные условия на концах стержня (при x = 0 и ) могут быть различных типов.
Кроме описанных выше линейных краевых задач, существуют также задачи с нелинейными граничными условиями, например
.
Это граничное условие соответствует излучению по закону Стефана – Больцмана в среду с температурой с торца .
Рассмотрим более подробно, например, задачу (с граничными условиями первого рода) для ограниченной области (стержня длиной 
). Задача состоит в отыскании решения 
дифференциального уравнения теплопроводности
при 0 < x < , 0 < t 
T,
удовлетворяющего начальному и граничному условиям
, 0 ≤ x ≤ ,
, 
, 0 ≤ t T,
где 
, 
, 
– заданные функции.
Аналогично ставятся другие задачи с различными комбинациями граничных условий.
