Методы решения уравнений с частными производными.

Дифференциальные уравнения с частными производными

Классификация дифференциальных уравнений с частными производными

Определение. Дифференциальные уравнения с частными производными – это уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные.

Уравнения с частными производными можно классифицировать по многим признакам. Классификация уравнений важна потому, что для каждого класса существует своя общая теория и методы решения уравнений.

Рассмотрим несколько основных методов классификации таких уравнений.

1. Порядок уравнения. Порядком уравнения называется наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение.

Например

– уравнение второго порядка;

– уравнение первого порядка;

– уравнение третьего порядка.

2. Число переменных. Числом переменных называется число независимых переменных.

Например

(уравнение с двумя переменными x и t);

(уравнение с тремя переменными τ, θ t).

3. Линейность. Уравнения с частными производными бывают линейными и нелинейными.

В линейные уравнения зависимая переменная и все ее частные производные входят линейным образом, в частности они не умножаются друг на друга, не возводятся в квадрат и т.д.

Например

– линейное уравнение;

– нелинейное уравнение;

– линейное уравнение;

– нелинейное уравнение.

Линейным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение

, (18.1)

где A, B, C, D, E, G, F – константы или заданные функции независимых переменных x и y:

4. Однородность. Уравнение (18.1) называется однородным, если правая часть тождественно равна нулю для всех x и y.

Если не равна тождественно нулю, то уравнение называется неоднородным.

5. Виды коэффициентов. Если коэффициенты A, B, C, D, E, G уравнения (18.1) постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами (в противном случае уравнением с переменными коэффициентами).

Методы решения уравнений с частными производными.

Перечислим основные:

1. Метод разделения переменных. Он сводится к тому, что уравнение с частными производными с n независимыми переменными приводится к n обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Это в случае полного разделения переменных. При частичном разделении переменных одно уравнение с частными производными сводится к нескольким уравнениям с частными производными с меньшим числом независимых переменных.

2. Метод преобразования координат. Исходное уравнение с частными производными сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению или к другому, более простому уравнению с частными производными с помощью соответствующего преобразования координат (например, поворота координатных осей и т.п.).

3. Метод интегральных преобразований. Уравнение с частными производными с n независимыми переменными сводится к уравнению с частными производными с независимыми переменными; следовательно, уравнение с частными производными с двумя независимыми переменными можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Это в случае одномерного интегрального преобразования. В случае - мерного интегрального преобразования уравнение с частными производными с n независимыми переменными сводится к уравнению с частными производными с независимыми переменными.

4. Преобразование зависимой переменной. Исходное уравнение с частными производными преобразуется к такому уравнению с частными производными для другой неизвестной функции, которое решается легче, чем исходное.

5. Численные методы. Исходное уравнение с частными производными сводится к системе разностных уравнений, которая решается методом итераций на ЭВМ.

Во многих случаях – это единственный способ решить уравнение с частными производными.

Кроме разностных методов решения уравнений с частными производными существуют и другие численные методы, в том числе и основанные на аппроксимации решения полиномиальными поверхностями (аппроксимация сплайнами).

6. Метод теории возмущений. Исходная нелинейная задача сводится к последовательности линейных задач, аппроксимирующих нелинейную задачу.

Точнее это метод линеаризации нелинейных задач. Общая теория возмущений содержит линейную и нелинейную теорию возмущений, каждая из которых в свою очередь бывает регулярной и сингулярной.

7. Вариационные методы. Вместо уравнения с частными производными решается некоторая задача минимизации. Оказывается, что функция, доставляющая минимум некоторому выражению (типа полной энергии системы) является в то же время решением исходного уравнения с частными производными.

Эти методы применимы к специальным задачам, что обусловлено существованием соответствующих выражений – функционалов для этих задач.

8. Метод функций Грина. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника.

Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников.

9. Метод разложения по собственным функциям. Решение уравнения с частными производными ищется в виде ряда по собственным функциям.

Эти собственные функции находятся как решения так называемой задачи на собственные значения, соответствующей исходной задаче для уравнения с частными производными.

10. Метод интегральных уравнений. Уравнение с частными производными сводится к интегральному уравнению (уравнению, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла). Существует много различных методов решения интегральных уравнений.