Лекции.Орг
 

Категории:


ОБНОВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ: Прошло более трех лет с тех пор, как Совет Министров СССР и Центральный Комитет ВКП...


Поездка - Медвежьегорск - Воттовара - Янгозеро: По изначальному плану мы должны были стартовать с Янгозера...


Классификация электровозов: Свердловский учебный центр профессиональных квалификаций...

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ



Пример15.1. Изобразить точками комплексной плоскости комплексные числа 2+3i, -4+2,5i, -2,7-3,3i, 3-2i.

Решение. Между точками числовой плоскости и множеством комплексных чисел существует взаимно однозначное соответствие

Любому комплексному числу x+iy соответствует только одна точка числовой плоскости, определяемая координатами (x, y), и обратно, любой точке плоскости соответствует только одно комплексное число, действительная часть которого равна абсциссе, а коэффициент при мнимой части – ординате точки.

-1 -2 -3
-5 -4 -3 -2 -1
D
С
В
А
х
у
Поэтому точка А изображает комплексное число А=2+3i;

точка В – комплексное число В = -4+2,5i;

точка С – комплексное число С=-2,7-3,3i;

точка D – комплексное число D=3-2i.

Пример 15.2. Даны два числа в алгебраической форме:

z1=5 + 7i; z2=3-4i. Найти .

Решение.

.

Пример15.3. Дано: z1=10-7i; z2=5i; z3=3+4i; z4=(-1+5i); z5=1-3i. Найти

Решение.

.

Пример 15.4. Даны два числа в тригонометрической форме: z1=2(cos +isin ); z2=5(cos + isin ). Найти .

Решение. r1=2; j1= ; r2=5; j2= .

Подставим эти значения r1, r2, j1 и j2 в формулу (15.11), получим

Пример15.5. Заданы комплексные числа:

Требуется:

1) представить z1, z2, z3 в тригонометрической и показательной форме;

2) вычислить

3) вычислить все значения .

Решение. 1. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической или показательной формах, необходимо найти его модуль и аргумент по формулам (15.2) и (15.5):

отсюда , ,

т. е.

,

 

Точка принадлежит первой четверти, поэтому

.

Тогда по формуле (15.3)

,

а по формуле (15.7)

.

Итак,

,

 

,

поэтому

,

,

т. е.

.

2. Воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа z1 и формулой Муавра

3. Перейдем к тригонометрической форме комплексного числа : Комплексное число z4 лежит в 4-й четверти.

arctg , так как arctg

.

Воспользуемся формулой (15.13), где – арифметический корень:

, (k=0, 1, 2, …).

 

 

при k=0

;

при k=1

;

при k=2

.

Пример15.6. Изобразить в комплексной плоскости линии, заданные следующим образом:

1) ;

2) .

Решение.1. Линия - окружность с центром в начале координат с радиусом, равным 8, так как по определению - это расстояние от начала координат до точки z.

2. – это расстояние между точками и . Поэтому равенство означает, что точки искомой линии удалены на расстояние, равное 5 от точки .

Т.е. искомая линия представляет собой окружность радиусом 5 с центром в точке .

çz -3 + i│=5
x
-2
-1
-3
y
-1
О
7
3 - i

Пример 15.7. Указать геометрические места точек комплексной плоскости, для которых выполняются следующие условия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение. 1. означает действительную часть комплексного числа , т. е. . Поэтому вместо уравнения можно написать . Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.

2. Уравнению удовлетворяет множество точек, находящихся на луче, выходящем из начала координат, который образует с осью абсцисс угол 30°.

3. Искомое множество представляет из себя угол, ограниченный лучами и ,

 

x
y
О

4. Действительная часть комплексного числа . Следовательно, данное множество – правая полуплоскость

y
x
O
Re z ≥ 3

 


Пример 15.8. Дано w = z2, где z = x + i y. Найти Re w и Im w.

Решение.

w =(x + i y)2 = x2 + 2x i y + i2 y2 =

x3 + 2x i y y2 =

= (x2 - y2) + 2x y i.

Отсюда

Re z2 = u (x, y) = x2 - y2 Im z2 = υ (x, y) = 2x y.

Пример 15.9. Изобразить на комплексной плоскости области, заданные следующими неравенствами, и установить, являются ли они односвязными.

1) ;

2) .

x
y
О
R
z0
 
Решение 1) Условию удовлетворяют точки вне круга радиусом 2 с центром в точке , за исключением его границы, уравнение которой . Это односвязная область.

x
О
y
i


2)Условию удовлетворяют точки вне круга с центром в точке радиусом 2 и условию - круг радиуса 4 с центром в той же точке . Следовательно, данное множество представляет из себя кольцо, ограниченное окружностями радиусов 2 и 4 с центром в точке . Это двусвязная область.

 

 

y
x
1
-2
-3
-1
1 + i
i
2£½z-1-i½£4

 

 


Пример 15.10. Найти производную функции e5iz+7 и показать, что она дифференцируема при любом значении z.

Решение. функции ez и 5iz+7 дифференцируемы при всех значениях z. Поэтому и сложная функция, составленная из них, также дифференцируема:

(e5iz+7 )' = e5iz+7 (5iz+7)' = 5i e5iz+7 .

Пример 15.11. Найти все особые точки следующей функции, определить их характер:

Решение. Так как функция имеет три нуля: – девятого порядка; и – второго порядка, то функция имеет три полюса: в точке – девятого порядка; и – второго порядка.

 





Дата добавления: 2017-02-11; просмотров: 430 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.