Примеры решения практических задач

Пример15.1. Изобразить точками комплексной плоскости комплексные числа 2+3 i, -4+2,5 i, -2,7-3,3 i, 3-2 i.

Решение. Между точками числовой плоскости и множеством комплексных чисел существует взаимно однозначное соответствие

Любому комплексному числу x + iy соответствует только одна точка числовой плоскости, определяемая координатами (x, y), и обратно, любой точке плоскости соответствует только одно комплексное число, действительная часть которого равна абсциссе, а коэффициент при мнимой части – ординате точки.

-1 -2 -3

-5 -4 -3 -2 -1

D

С

В

А

х

у

Поэтому точка А изображает комплексное число А =2+3 i;

точка В – комплексное число В = -4+2,5 i;

точка С – комплексное число С =-2,7-3,3 i;

точка D – комплексное число D =3-2 i.

Пример 15.2. Даны два числа в алгебраической форме:

z ₁=5 + 7 i; z ₂=3-4 i. Найти .

Решение.

.

Пример15.3. Дано: z ₁=10-7 i; z ₂=5 i; z ₃=3+4 i; z ₄=(-1+5 i); z ₅=1-3 i. Найти

Решение.

.

Пример 15.4. Даны два числа в тригонометрической форме: z ₁=2(cos + i sin ); z ₂=5(cos + i sin ). Найти .

Решение. r ₁=2; j₁= ; r ₂=5; j₂= .

Подставим эти значения r ₁, r ₂, j₁ и j₂ в формулу (15.11), получим

Пример15.5. Заданы комплексные числа:

Требуется:

1) представить z ₁, z ₂, z ₃ в тригонометрической и показательной форме;

2) вычислить

3) вычислить все значения .

Решение. 1. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической или показательной формах, необходимо найти его модуль и аргумент по формулам (15.2) и (15.5):

отсюда , ,

т. е.

,

 

Точка принадлежит первой четверти, поэтому

.

Тогда по формуле (15.3)

,

а по формуле (15.7)

.

Итак,

,

 

,

поэтому

,

,

т. е.

.

2. Воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа z ₁ и формулой Муавра

3. Перейдем к тригонометрической форме комплексного числа : Комплексное число z₄ лежит в 4-й четверти.

arctg , так как arctg

.

Воспользуемся формулой (15.13), где – арифметический корень:

, (k =0, 1, 2, …).

 

 

при k =0

;

при k =1

;

при k =2

.

Пример15.6. Изобразить в комплексной плоскости линии, заданные следующим образом:

1) ;

2) .

Решение. 1. Линия - окружность с центром в начале координат с радиусом, равным 8, так как по определению - это расстояние от начала координат до точки z.

2. – это расстояние между точками и . Поэтому равенство означает, что точки искомой линии удалены на расстояние, равное 5 от точки .

Т.е. искомая линия представляет собой окружность радиусом 5 с центром в точке .

ç z -3 + i │=5

x

-2

-1

-3

y

-1

О

7

3 - i

Пример 15.7. Указать геометрические места точек комплексной плоскости, для которых выполняются следующие условия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение. 1. означает действительную часть комплексного числа , т. е. . Поэтому вместо уравнения можно написать . Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.

2. Уравнению удовлетворяет множество точек, находящихся на луче, выходящем из начала координат, который образует с осью абсцисс угол 30°.

3. Искомое множество представляет из себя угол, ограниченный лучами и ,

 

x

y

О

4. Действительная часть комплексного числа . Следовательно, данное множество – правая полуплоскость

y

x

O

Re z ≥ 3

 

Пример 15.8. Дано w = z ², где z = x + i y. Найти Re w и Im w.

Решение.

w =(x + i y)² = x ² + 2 x i y + i ² y ² =

x ³ + 2 x i y – y ² =

= (x ² - y ²) + 2 x y i.

Отсюда

Re z ² = u (x, y) = x ² - y ² Im z² = υ (x, y) = 2 x y.

Пример 15.9. Изобразить на комплексной плоскости области, заданные следующими неравенствами, и установить, являются ли они односвязными.

1) ;

2) .

x

y

О

R

z 0

Решение 1) Условию удовлетворяют точки вне круга радиусом 2 с центром в точке , за исключением его границы, уравнение которой . Это односвязная область.

x

О

y

i

2)Условию удовлетворяют точки вне круга с центром в точке радиусом 2 и условию - круг радиуса 4 с центром в той же точке . Следовательно, данное множество представляет из себя кольцо, ограниченное окружностями радиусов 2 и 4 с центром в точке . Это двусвязная область.

 

 

y

x

1

- 2

- 3

- 1

1 + i

i

2£½ z -1- i ½£4

 

 

Пример 15.10. Найти производную функции e ^{5 iz +7} и показать, что она дифференцируема при любом значении z.

Решение. функции e^z и 5 iz+ 7 дифференцируемы при всех значениях z. Поэтому и сложная функция, составленная из них, также дифференцируема:

(e ^{5 iz+ 7})' = e ^{5 iz+ 7} (5 iz+ 7)' = 5 i e ^{5 iz+ 7}.

Пример 15.11. Найти все особые точки следующей функции, определить их характер:

Решение. Так как функция имеет три нуля: – девятого порядка; и – второго порядка, то функция имеет три полюса: в точке – девятого порядка; и – второго порядка.