Элементы теории функций
Комплексного переменного
Комплексные числа, действия над ними
Определение. Комплексным числом z называется число вида
z=x+iy, (15.1)
где x, y 
; 
– мнимая единица.
Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z, для них приняты обозначения:
x= Re (x + iy) = Re z; y = Im (x + iy) = Im z.
Если x= 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым.
Если y= 0, то число x + i 0 =x отождествляется с действительным числом x, т. е. любое действительное число можно рассматривать как комплексное. Множество комплексных чисел обозначается С.
Следовательно, множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел R 
C.
Форма записи комплексного числа в виде (15.1) называется алгебраической.
Комплексное число z= 0 + 0 i называется нулем. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определены.
Определение. Комплексное число 
= x-iy называется сопряженным с числом z=x+ iy. Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой части, т.е. z=x+ iy и 
= x-iy, называются комплексно-сопряженными.
Комплексное число z=x+ iy изображается в плоскости xOy или точкой с координатами (x, y), или как вектор 
, с проекциями на оси абсцисс и ординат равными соответственно x и y
| x |
| y |
| x |
| y |
| r |
| О |
| j |
| z(x, y) |
называется модулем числа z и обозначается 
.
(15.2)
Плоскость xOy называется комплексной плоскостью, ось абсцисс - действительной осью, ось ординат – мнимой осью.
Угол 
между положительным направлением оси Ox и вектором называется аргументом z и обозначается Arg z, он определяется с точностью до слагаемого, кратного 2p.
где arg z – главное значение аргумента.
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид
(15.3)
Связь между алгебраической и тригонометрической формами:
(15.4)
Чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, надо найти его модуль по формуле (15.2), а затем с помощью одной из формул (15.4) найти аргумент 
.
Для главного значения аргумента справедливо
|  ;
|
 ; (15.5)
 .
| |
Если комплексное число z находится на одной из осей, то 
находят непосредственно. Например,
.
| - 1 |
| 2,1 |
| - 2,5 |
| О |
| z 2= -2,5 |
| y |
| z 3= 2,1 |
| x |
| z 1=2 i |
| z 4= - i |
Тогда 
.
Показательная форма комплексного числа наиболее удобная его форма. Для ее получения применяют формулу Эйлера:
, (15.6)
(е =2,718 … - иррациональное число).
Если комплексное число z записано в тригонометрической форме (15.3), то используя формулу (15.6), получим показательную форму комплексного числа:
, (15.7)
где 
; 
.
Действия над комплексными числами производятся так:
а) числа заданы в алгебраической форме:
если
то
; (15.8)
, (15.9)
(при z 2≠0); (15.10)
Действия над комплексными числами в алгебраической форме выполняются по тем же правилам, что и над многочленами с действительными коэффициентами, если учесть, что
, 
, 
, 
и т. д.
Частное получается при умножении числителя и знаменателя дроби 
на число 
, комплексно-сопряженное знаменателю.
Возведение комплексного числа z в степень n 
рассматривается как умножение z на себя n раз. Например,
б) числа заданы в тригонометрической форме:
если
,
то
, (15.11)
(при z 2≠ 0); (15.12)
если 
то 
– формула Муавра;
; (15.13)
в) числа заданы в показательной:
если 
то
; (15.14)
если 
то
; (15.15)
если 
то
, (15.16)
(15.17)
Для взаимно сопряженных чисел z и 
справедливы формулы:
если 
, то
.
