Понятие функции комплексного переменного

Определение. Пусть даны две плоскости комплексных чисел: плоскость Z точек z = x + i y и плоскость W точек υ, где x, y, u, υ - действительные переменные.

Рассмотрим некоторое множество точек М в плоскости Z и множество D в плоскости W.

Если каждому значению z Î М по какому-то закону поставлено в соответствие значение другого комплексного переменного w Î D, то говорят, что на множестве М определена функция комплексной переменной z и пишут

w = f (z).

Так как z = x + i y, υ, то функция f (z) может быть записана в виде

f (z) = u (x, y) + i υ (x, y),

u = Re f (z), υ = Im f (z).

Определение. Функция w = f (z) называется однозначной, если каждому значению z Î М можно поставить в соответствие только одно значение w ÎD, в противном же случае функция w = f (z) называется многозначной.

Будем откладывать значения z на одной комплексной плоскости, а значения w- на другой.

Тогда функцию комплексного переменного можно геометрически представить как отображение множества М плоскости Z на множество D плоскости W.

Пусть функция w = f (z) однозначна на множестве М и двум различным точкам М всегда соответствуют различные точки D, то такое отображение принято называть взаимно однозначным или однолистным.

Точки множества D называют образами соответствующих точек множества М при отображении

w = f (z),

а точки множества М – прообразами соответствующих точек множества D.

Определение. Область, ограниченная замкнутой несамопересекающейся линией называется односвязной.

К односвязным областям принадлежит вся плоскость. Другие примеры односвязных областей приведены на рисунке. Сами области заштрихованы. Если граница области входит в область задания, то она изображается сплошной линией, если нет - пунктиром.

Ограниченная замкнутая область Ограниченная открытая область

Определение. Область называется двусвязной, если она ограничена двумя замкнутыми непересекающимися и несамопересекающимися линиями.

К примеру, область будет двусвязной, если внутри рассматриваемой части плоскости имеется одна точка или односвязная ограниченная область, не принадлежащая к области задания функции.

Двусвязные области:

Ограниченная двусвязная область

Неограниченная двусвязная область

Многосвязные области:

Трехсвязная область Четырехсвязная область

z ₁= i

Область, представленная ниже не является связной:

Производная функции

Комплексного переменного.

Определения, формулы и теоремы в изучении производной и дифференциала функции комплексного переменного практически полностью совпадают с аналогичными определениями, формулами и теоремами в случае действительного переменного. Но дифференцируемые функции комплексного переменного по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного обладают многими дополнительными свойствами.

Определение. Пусть однозначная функция w =f (z) определена в точке z и ее окрестности.

Производной функции f (z) в точке z называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если такой предел существует:

(15.18)

В формуле (15.18) D z стремится к нулю по любому закону (по любому пути). Точка z +D z может приближаться к точке z по любому из бесконечного множества различных лучей и для существования производной для функции f (z) комплексного переменного требуется совпадение всех этих пределов.

z+ D z

(В случае функции действительного переменного, если функция y=f (x) имеет производную, это означает, что существует предел

отношения при стремлении точки х+ D х к точке х только по двум направлениям: справа (D х >0) и слева (D х <0) и эти пределы совпадают.)

Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой, а также моногенной или голоморфной в этой точке.

Аналитические функции

Основное содержание общей теории комплексного переменного составляет теория аналитических функций.

Известны различные подходы к понятию аналитичности. Один из них, тесно связанный с геометрическими представлениями, впервые был освещен в работах О. Коши, затем развит в трудах Б. Римана. В его основе лежит так называемое структурное свойство функции – существование производной по комплексному переменному.

Другой подход, связанный с аналитическим аппаратом, которым может быть изображена функция, основан на возможности представления функций степенными рядами. Этот подход был развит в работах К. Вейерштрасса.

Определение. Функция , определенная в области D, называется аналитической (голоморфной) в точке , если существует некоторая окрестность этой точки, в которой функция может быть представлена степенным рядом

Функция называется аналитической (голоморфной) в области D, если это свойство выполняется в каждой точке этой области.

Как указывалось ранее, функция , голоморфная в точке , дифференцируема в этой точке.

Голоморфность функции в области означает, что в каждой точке этой области функция бесконечно дифференцируема и ее ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.