Первая группа- аксиомы принадлежности. В них устанавливаются отношения между точками, прямыми и плоскостями.

Тема: Из истории возникновения и развития геометрии

План

1.Период эмпирического развития геометрии.

2.Систематическое изложение геометрии Евклидом.

3.Развитие геометрии в XVI -XVIII веках.

4.Неевклидовы геометрические системы.

5.Аксиоматика Д. Гильберта.

Содержание

Геометрия (греческое, от ge-земля и metrein - измерять) - наука о пространстве, точнее - наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела.

Более 2000 лет под геометрией подразумевалась лишь «евклидова» или элементарная геометрия. Затем обнаружилось, что для описания реального пространства могут служить и другие геометрии.

Аналитическая, дифференциальная, проективная, аналитическая геометрия, топология и т. д. являются частями современной науки геометрии. Такое «разветвление древа» геометрии связано с выделением в современной математике таких абстрактных пространств как векторное, метрическое, топологическое и т. д. 1. Первые сведения о геометрии были получены за несколько столетий до нашей эры народами Древнего Востока - в Египте, Вавилоне, Китае, Индии - в связи с развитием земледелия, ремесел, строительства, торговли, мореплавания, военного дела. В это время геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор правил для решения конкретных задач, например нахождения площадей фигур, объемов тел, построения прямых углов. Не было ещё доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

Геометрические знания народов Древнего Востока постепенно накапливались, распространялись и проникали в другие страны, в том числе в Грецию. Здесь они попали на благодатную почву. Начиная с VII в. до н. э. в Древней Греции создаются философские школы, в которых ученые мужи посредством рассуждений одни правила стали выводить из других, получая новые геометрические свойства фигур. Так правила становились теоремами, возникло умозрительное доказательство без прямых ссылок на опыт.

Отцом греческой математики считается философ Фалес Милетский (640-548г.г. до н.э.). Фалесу, точнее его математической школе, принадлежат доказательства свойств равнобедренных треугольников, вертикальных углов.

В философской школе Пифагора (570-471г.г. до н. э.) была сформулирована теорема о сумме углов треугольника, доказана теорема Пифагора, установлено существование несоизмеримых отрезков и пяти типов правильных многогранников, открыты теоремы об объёмах пирамиды и конуса. В этой школе геометрия превращается в абстрактную науку: исследуются все свойства изучаемых фигур, а не только те, которые были нужны для практических целей.

Впервые проблема строгого построения системы геометрических знаний была поставлена Платоном (429-348г.г. до н.э.). Основателю формальной логики философу Аристотелю (384-322 г.г. до н.э.) принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде последовательности предложений, вытекающих одно из другого на основе лишь правил логики.

Таким образом, к III веку до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, достигшей результатов, охватывающих почти все содержание современного школьного курса геометрии.

2. Евклид (330- 275г. до н.э.) - крупнейший ученый древности, жил в Египте (Александрии). Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал фундаментальный труд «Начала», в котором представил научно обоснованное учение о геометрии ставшем первой аксиоматической теорией в математике.

Изложение геометрии Евклид начинает с определения основных геометрических объектов (понятий): точка, прямая, поверхность и др., (всего 35 определений).

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих частей.

4. Поверхность есть то, что имеет длину и ширину.

Затем Евклид вводит постулаты, выражающие возможность основных построений.

1) «от каждой точки до каждой другой можно было провести прямую»;

2) «ограниченную прямую можно продолжить неопределенно»;

3) «из любого центра можно было описать окружность любым радиусом»;

4) «все прямые углы равны»;

5) «если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пересекаются при достаточном продолжении с этой стороны».

Затем формулируются аксиомы, относящиеся к величинам: длине отрезка, величине угла, площади фигуры:

1) «равные одному и тому же третьему также равны и между собой»;

2) «если к равным прибавить равные, то целые будут равны»;

3) «если от равных отнять равные, то полученные остатки будут равны»;

4) «совмещающиеся друг с другом равны»;

5) «целое больше своей части».

За постулатами и аксиомами, принимаемыми как основные предположения без доказательств, следуют теоремы и задачи на построение. При этом каждая теорема доказывается на основании введенных ранее определений, аксиом и доказанных теорем.

«Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры, являясь и до настоящего времени основой элементарной («школьной») Евклидовой геометрии. После «Начал» Евклида греческая математика получила дальнейшее развитие в работах Архимеда (около 287-212г.г. до н.э.) и Аполлония (конец III- начало II в. до н.э.) Архимеда, как великого механика, интересовала геометрия величин или метрическая геометрия. Он предложил приёмы вычисления площадей поверхностей, объёмов и центров тяжести тел. Аполлоний глубоко исследовал конические сечения и некоторые свойства тел вращения.

Таким образом, в Древней Греции произошел постепенный переход от практической геометрии к теоретической.

3. После II в. до н. э. и до XVIII в. н.э. в геометрии не было значительных достижений, требовались новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия числа и алгебры.

 

Арабы усовершенствовали систему счисления и основы алгебры, заимствованные у индусов. Великий Исаак Ньютон (1642- 1727) ввел в математику дифференциальное и интегральное счисление, что позволило решать многие важнейшие задачи геометрии, механики и физики и явилось предпосылкой возникновения в XVIII веке новой ветви в науке - дифференциальной геометрии (Леонард Эйлер, Гаспар Монж, Карл Гаусс).

Развитием идей другой геометрической дисциплины - аналитической геометрии, в основе которой лежит метод координат точек на плоскости, послужили труды французских математиков Декарта (1596-1650) и Ферма (1601-1665), а в России в XVIII веке - Эйлера (1707 - 1783).

Накопленный к XVIII веку огромный фактический материал привел к необходимости критического пересмотра исходных положений геометрии (аксиом) и построению строгой системы определений и доказательств.

4. Революционный переворот во взглядах на математику был связан с проблемами её обоснования, с новым пониманием аксиоматического метода. Открытие в 1826г. Н.И.Лобачевским (1792-1856) факта, что, заменив пятый постулат Евклида «о параллельных» его отрицанием («Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную») и сохранив все остальные аксиомы евклидовой геометрии, привело к возникновению новой геометрии, логически непротиворечивой.

Независимо от Лобачевского к тем же результатам пришли математики К.Гаусс (1777-1855) и Я. Бойяи (1802-1860). Немецкий математик Б.Риман (1826-1866) " включил в число аксиом предложение: «каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую», которое справедливо для геометрии на сфере.

Такие геометрические системы, отличные от геометрии Евклида стали называться неевклидовыми геометриями: «геометрия Лобачевского», «геометрия Римана».

5. Дальнейшее исследования евклидовой геометрии Д. Гильбертом (1862-1943) показали неполноту системы аксиом и постулатов Евклида. В своей книге «Основания геометрии» он дает полный список аксиом евклидовой геометрии и доказывает её непротиворечивость. В качестве основных понятий выступают: точка, прямая, плоскость и основные отношения между ними: «принадлежать», «конгруэнтен», «лежать между».

Аксиоматика Гильберта состоит из пяти групп.

Первая группа- аксиомы принадлежности. В них устанавливаются отношения между точками, прямыми и плоскостями.

1. Через две точки проходит одна и только одна прямая.

2. На каждой прямой лежат, по меньшей мере, две точки.

3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Для построения планиметрии ограничиваются указанными аксиомами принадлежности. Для построения стереометрии к ним присоединяются следующие.

4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

5. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат указанной плоскости.

6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку.

7. Существует по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа- аксиомы порядка, они определяют понятие «лежать между» и выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости.

1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и А.

2. Для любых двух точек прямой А и В существует на этой прямой такая точка С, что точка В лежит между точками А и С.

3. Из трех точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими.

4. Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой и прямая не проходит ни через одну из этих точек. Если при этом прямая а пересекает отрезок АВ (то есть проходит через точку, лежащую между точками А и В), то она пересекает один из отрезков ВС или АС.

Аксиомы первых двух групп позволяют определить понятие отрезка, луча, угла.

Отрезок- это система двух точек А и В, принадлежащих прямой а. Точки, расположенные между А и В, называются точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называются концами отрезка АВ.

Луч с началом, О - это совокупность всех точек прямой;, лежащих с одной стороны от О. Угол - это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих на разных прямых.

Третья группа - аксиомы равенства (конгруэнтности). Они определяют равенство отрезков и углов.

1. На данной прямой по данную сторону от данной на ней точки можно отложить отрезок, равный данному, и притом единственным образом.

2. Два отрезка, порознь равные третьему, равны между собой.

3. Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и С и на некоторой другой или той же прямой точка B1 лежит между двумя точками A1 и С1. Если при этом отрезок АВ равен отрезку A1B1 и отрезок ВС равен отрезку B1С1, то AС=A1C1.

4. По данную сторону от данного луча можно отложить данный угол и притом единственным образом.

5. Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.

6. Пусть А,В,С - три точки, не лежащие на одной прямой, A1,B1,C1 - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом AB=A1B1, угол ВАС равен углу B1A1C1, то угол ABC равен углу A1B1C1.

Четвёртая группа - аксиома непрерывности.

Если все точки произвольным образом разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса, тогда непременно в первом классе есть самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором классе есть самая левая точка (и в первой нет самой правой).

Пятая группа- аксиома параллельности.

В плоскости через точку вне данной прямой нельзя провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Совокупность всех теорем, выводимых из пяти групп аксиом, составляет евклидову геометрию. В настоящее время в школьных учебниках по геометрии представлены различные модификации этой системы аксиом.

В дальнейшее развитие геометрии внесли свой вклад такие видные учёные XIX-XX как: П.С.Александров, Л.С.Атанасян, группа математиков «Н.Бурбаки», Г.Вейль, Л.С. Понтрягин, А.Н.Колмогоров, Н.Н. Лузин, А.В.Погорелов и другие.