Для z = f(x,y) приращение функции представим в виде:
z = A x + B y + 
( x, y), где ( x, y) – б.м.в. более высокого порядка чем
= 
, т.е. расстояние между М и М0 при М 
М0. Если такое разложение существует, то функция z = f(x,y) наз. дифференцируемой, а линейная по x и y часть разложения есть полный дифференциал функции: dz = A x + B y.
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции:
Функция дифференцируема в точке, если существуют её частные производные в этой точке и они непрерывны, причем, ¶z/ ¶x = А, ¶z/ ¶y = B
¶z/ ¶x = lim (A x + ( x, 0))/ x = A + lim ( x, 0) / x = A
x 0 x 0
Т.о., полный дифференциал ФНП есть сумма частных дифференциалов
dz = (¶z/ ¶x) dx + (¶z/ ¶y) dy (5)
Пр. Найти полный дифференциал функции z = xy3, u = xyz
Частные производные высших порядков.
Частные производные ¶z/ ¶x = f `x(x,y), ¶z/ ¶y = f `y(x,y) являются функциями от х, у.
Если они дифференцируемы, то для них получаем 4 производных второго порядка
¶ 2z/ ¶x2 = ¶ (¶z/ ¶x)/ ¶x, ¶ 2z/ ¶x¶y = ¶(¶z/ ¶x)/ ¶y,
¶ 2z/ ¶y2 = ¶ (¶z/ ¶y)/ ¶y, ¶2z/¶x¶y = ¶(¶z/ ¶y)/ ¶ x
Опр. Частной производной n – ого порядка наз. частная производная первого порядка от частной производной n – 1 порядка.
Теорема. Если частные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны в точке М, то они равны между собой.
Например, ¶2z/¶x¶y = ¶2z/¶y¶ x.
Пр. Найти производные 1-ого, 2-ого порядка от функции z = x3y + y4
Опр. Дифференциалом 2-ого порядка функции z = f(x,y) наз. дифференциал от ее дифференциала 1-ого порядка (при условии dx, dy -константы)
d2z =d(dz) =d[(¶z/¶x)dx + (¶z/¶y) dy] = (¶ 2z/ ¶x2)dx2 + 2(¶ 2z/¶x¶y)dx dy + (¶ 2z/¶y2)dy2 (6)
Производные сложных функций.
Пусть для z = f(x,y) переменные х, у являются функциями параметра t: x = x(t), y = y(t). Тогда функция z = f(x(t), y(t)) является сложной функцией параметра t и ее производная по t является отношением полного дифференциала dz к dt (по опр. Ньютона), т.е.
(7)
Пр. z = y ln x2, x = sin t, y = cos t, dz/ dt =?
Если в функции z = f(x,y) аргументы связаны дополнительным условием y = y(x), то независимым аргументом оказывается только х. Для вычисления производной dz/dx составим отношение полного дифференциала dz к dx
= 
(8)
Геометрически это означает, что мы находим производную вдоль линии пересеченияповерхности z = f(x,y) c некоторой цилиндрической поверхностью y = y(x) | | оси Оz.
Пр. z = y x; y = cos x; dz/dx =?
Если для z = f(x,y) имеем x = x(u, v), y = y(u, v), т.е. дополнительная цилиндрическая поверхность определяется двумя параметрами, и ¶z/¶u =?, ¶z/¶v =?, то отношение полного дифференциала dz к du при условии v – const приводит к формуле
; 
(9)
Пр. z = x2 + 2y2; x = 4u + 3v; y = 2u – 5v; ¶z/ d u =?, ¶z/¶v =?
Производные неявных функций.
Пусть дана неявная функция F(x, y) = 0, сложным образом связывающая аргумент х и у = у(х). Надо найти производную dy/ dx.
Полный дифференциал функции F(x,y) разделим на dx
Þ 
(10)
Пр. exp x2 + x y2 = 0; dy/ dx =?. Пусть F(x,y) = exp x2 + x y2 , тогда
¶F/¶x = 2x exp x2 + y2 ; ¶F/¶y = 2 xy; dy/dx = - (2x exp x2 + y2) / 2xy
Пусть дана неявная функция F(x,y,z) = 0, сложным образом связывающая аргументы х, у и z = z(x, y). Надо найти производные ¶z/¶x, ¶z/¶y.
