Функция нескольких переменных.

Тема: Функция нескольких переменных.

 

Факт исходный для мат.анализа – всякий реальный процесс описывают несколько переменных величин и они взаимозависимы. Простейший случай: зависимость двух величин – аргумента и функции. Более сложный случай – зависимость одной величины сразу от нескольких аргументов, что приводит к понятию функции нескольких переменных (ФНП) y = f(x₁, x₂,..., x_n).

Набор из n величин (x₁, x₂,..., x_n) можно отождествить с точкой n – мерного линейного пространства Rⁿ. R² – точки плоскости, R³ - точки трехмерного пространства

 

Опр. Функцией n – переменных y = f(x₁, x₂,..., x_n), определенных на множестве D Ì Rⁿ и принимающей значения на множестве Y Ì R, наз. правило соответствия между элементами множеств D и Y, при котором для любой точки (x₁, x₂,..., x_n) Î D существует единственный элемент y Î Y.

Множество D наз. областью определения (ООФ), Y – областью значений функции. Так, функция двух переменных z = f(x,y): (x.y) Î D Ì R², z Î Z Ì R. Переменные x, y, z можно понимать как координаты трехмерного пространства, тогда графиком функции z = f(x,y) является однослойная поверхность в пространстве.

Пр.1 ,

D: 9 – x² – y² > 0, x² + y² < 3² -круг радиуса 3

Z: верхняя полусфера R = 3

 

Для изучения характера изменения такой функции удобно рассматривать линии уровня заданные уравнением f(x,y) = с. При движении вдоль такой линии значение функции сохраняется. Пр.1 уравнение x² + y² = с определяет семейство окружностей.

Для функции трех переменных u = f(x,y,z) ООФ есть множество точек пространства или некоторое тело в нем. Наглядно изобразить функцию уже не удается, но в ООФ можно выделить поверхности уровня, которым соответствует постоянное значение функции f(x,y,z) = с.

Пр.2 u = , D: x² + y² + z² < 1 - шар R = 1 с центром в О(0,0,0)

Функции двух переменных.

Изучать ФНП удобно на примере двух переменных, в силу их геометрической наглядности, и полученные результаты обобщить на произвольное n.

ООФ z = f(x,y) задается на плоскости D Ì R² и может быть ограничена некоторой кривой L, которая наз. границей области D и обозначается ¶ D. Если область D ограничена замкнутой и не самопересекающейся линией, то она наз. односвязной. Если D ограничивают несколько замкнутых линий, то наз. многосвязной. В качестве дополнительного контура может быть точка или линия. Точки (x,y), принадлежащие D, но не ¶ D наз. внутренними, а точки принадлежащие границе граничными. Область D наз. открытой, если содержит только внутренние точки, и наз. замкнутой (D), если включает и внутренние и внешние точки. Круг радиуса d вокруг точки М наз. d- окрестностью этой точки.

Предел и непрерывность ФНП.

Опр. Пределом функции z = f(x,y) при стремлении т. М(х,у) к т. М₀(х₀,у₀) наз. число А такое, что разность между ним и значением функции f(x,y) делается б.м.в. при М®М₀

lim [f(x.y) – A] = 0 или lim f(x,y) = A при М ® М₀ (1)

Достаточное условие существования функции в точке(по Коши).

Пусть точкам M(x,y) из некоторой d-окрестности точки М₀ соответствуют значения z из e-окрестности точки А. В том случае, если между границами этих окрестностей существует четкая связь d = d(e), то сжатие круга вокруг точки М₀ автоматически приводит к сжатию интервала вокруг точки А и предельный процесс М ® М₀ влечет за собой предельный процесс z ® A. Таким образом, для установления факта существования предела функции z ® A достаточно убедится в существовании зависимости между e > 0 и d>0, при которой выполняются неравенства:

если |M₀M| < d, то |f(x,y) – A| < e. (2)

Теоремы о пределах функции одной переменной справедливы и для ФНП. Предел от константы равен константе. Предел от суммы, произведения, частного двух функций равен сумме, произведению, отношению пределов и т.д.

 

Опр. Функция z = f(x,y) наз. непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если она определена и в ее окрестности и предел функции при М ® М₀ равен значению функции в точке М₀:

lim f(x,y) = f(x₀,y₀) при М ® М₀ (3)

 

Опр. Функция z = f(x,y) наз. непрерывной на некотором множестве E Ì D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Опр. Точка М₀(х₀,у₀) наз. точкой разрыва, если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности. Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линии.

Пр. z = xy / (x – y). y = x -линия разрыва.

 

Частные приращения и частные производные.

Опр. Частным приращением функции z = f(x,y) по х наз. разность

D_хz = f(x+Dx,y) – f(x,y), частным приращением по y - D_yz = f(x,y+Dy) – f(x,y).

Опр. Частной производной по х от функции z = f(x,y) наз. предел отношения частного приращения D_хz к приращению Dх при стремлении его к нулю:

z`_x = ¶z / ¶x = lim D_хz / Dx при Dx ® 0 (4)

 

Аналогично для переменной y: z`_y = ¶z / ¶y = lim D_yz / D при Dy ® 0

Произведения z`<sub>x</sub>dx и z`_ydy наз. частными дифференциалами. Частные приращения и частные производные для функций с произвольным числом аргументов определяются аналогичным образом.

Правила вычисления частных производных: частная производная от z = f(x,y) по х есть обычная производная по х условии y = const. При вычислении частной производной по y, наоборот, x = const.

Геометрический смысл частных производных. Условие y = const при вычислении z`_x

означает, что производится сечение поверхности z = f(x,y) плоскостью y = y₀ ^ оси Оу, которое дает плоскую кривую z = f(x,y₀). Таким образом, производная z`<sub>x</sub> определяет скорость изменения функции вдоль этой кривой или тангенс угла наклона касательной к ней. Производная z`_y связана с сечением поверхности ^ оси Ох (x = x₀).

Полное приращение и полный дифференциал

Опр. Полным приращением функции z = f(x,y) наз. результат одновременного изменения всех аргументов, т.е. разность z = f(x+ x, y+ y) – f(x,y).

Полное приращение не является простой суммой частных приращений и может содержать x и y как в первой, так и в более высоких степенях.

Пр. z = xy. _х z = y x, _y z = x y, z = _х z + _y z + x y

По определению, дифференциалом функции одной переменной y = f(x) является главная часть приращения функции, линейная по x: y = А x + ( x). Причем,

dy = А x = f (x) dx, а ( x) – более высокого порядка малости по x.