Тема: Функция нескольких переменных.
Факт исходный для мат.анализа – всякий реальный процесс описывают несколько переменных величин и они взаимозависимы. Простейший случай: зависимость двух величин – аргумента и функции. Более сложный случай – зависимость одной величины сразу от нескольких аргументов, что приводит к понятию функции нескольких переменных (ФНП) y = f(x1, x2,..., xn).
Набор из n величин (x1, x2,..., xn) можно отождествить с точкой n – мерного линейного пространства Rn. R2 – точки плоскости, R3 - точки трехмерного пространства
Опр. Функцией n – переменных y = f(x1, x2,..., xn), определенных на множестве D Ì Rn и принимающей значения на множестве Y Ì R, наз. правило соответствия между элементами множеств D и Y, при котором для любой точки (x1, x2,..., xn) Î D существует единственный элемент y Î Y.
Множество D наз. областью определения (ООФ), Y – областью значений функции. Так, функция двух переменных z = f(x,y): (x.y) Î D Ì R2, z Î Z Ì R. Переменные x, y, z можно понимать как координаты трехмерного пространства, тогда графиком функции z = f(x,y) является однослойная поверхность в пространстве.
Пр.1 
,
D: 9 – x2 – y2 > 0, x2 + y2 < 32 -круг радиуса 3
Z: верхняя полусфера R = 3
Для изучения характера изменения такой функции удобно рассматривать линии уровня заданные уравнением f(x,y) = с. При движении вдоль такой линии значение функции сохраняется. Пр.1 уравнение x2 + y2 = с определяет семейство окружностей.
Для функции трех переменных u = f(x,y,z) ООФ есть множество точек пространства или некоторое тело в нем. Наглядно изобразить функцию уже не удается, но в ООФ можно выделить поверхности уровня, которым соответствует постоянное значение функции f(x,y,z) = с.
Пр.2 u = 
, D: x2 + y2 + z2 < 1 - шар R = 1 с центром в О(0,0,0)
Функции двух переменных.
Изучать ФНП удобно на примере двух переменных, в силу их геометрической наглядности, и полученные результаты обобщить на произвольное n.
ООФ z = f(x,y) задается на плоскости D Ì R2 и может быть ограничена некоторой кривой L, которая наз. границей области D и обозначается ¶ D. Если область D ограничена замкнутой и не самопересекающейся линией, то она наз. односвязной. Если D ограничивают несколько замкнутых линий, то наз. многосвязной. В качестве дополнительного контура может быть точка или линия. Точки (x,y), принадлежащие D, но не ¶ D наз. внутренними, а точки принадлежащие границе граничными. Область D наз. открытой, если содержит только внутренние точки, и наз. замкнутой (D), если включает и внутренние и внешние точки. Круг радиуса d вокруг точки М наз. d- окрестностью этой точки.
Предел и непрерывность ФНП.
Опр. Пределом функции z = f(x,y) при стремлении т. М(х,у) к т. М0(х0,у0) наз. число А такое, что разность между ним и значением функции f(x,y) делается б.м.в. при М®М0
lim [f(x.y) – A] = 0 или lim f(x,y) = A при М ® М0 (1)
Достаточное условие существования функции в точке(по Коши).
Пусть точкам M(x,y) из некоторой d-окрестности точки М0 соответствуют значения z из e-окрестности точки А. В том случае, если между границами этих окрестностей существует четкая связь d = d(e), то сжатие круга вокруг точки М0 автоматически приводит к сжатию интервала вокруг точки А и предельный процесс М ® М0 влечет за собой предельный процесс z ® A. Таким образом, для установления факта существования предела функции z ® A достаточно убедится в существовании зависимости между e > 0 и d>0, при которой выполняются неравенства:
если |M0M| < d, то |f(x,y) – A| < e. (2)
Теоремы о пределах функции одной переменной справедливы и для ФНП. Предел от константы равен константе. Предел от суммы, произведения, частного двух функций равен сумме, произведению, отношению пределов и т.д.
Опр. Функция z = f(x,y) наз. непрерывной в точке М0(х0,у0), если она определена и в ее окрестности и предел функции при М ® М0 равен значению функции в точке М0:
lim f(x,y) = f(x0,y0) при М ® М0 (3)
Опр. Функция z = f(x,y) наз. непрерывной на некотором множестве E Ì D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Опр. Точка М0(х0,у0) наз. точкой разрыва, если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности. Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линии.
Пр. z = xy / (x – y). y = x -линия разрыва.
Частные приращения и частные производные.
Опр. Частным приращением функции z = f(x,y) по х наз. разность
Dхz = f(x+Dx,y) – f(x,y), частным приращением по y - Dyz = f(x,y+Dy) – f(x,y).
Опр. Частной производной по х от функции z = f(x,y) наз. предел отношения частного приращения Dхz к приращению Dх при стремлении его к нулю:
z`x = ¶z / ¶x = lim Dхz / Dx при Dx ® 0 (4)
Аналогично для переменной y: z`y = ¶z / ¶y = lim Dyz / D при Dy ® 0
Произведения z`xdx и z`ydy наз. частными дифференциалами. Частные приращения и частные производные для функций с произвольным числом аргументов определяются аналогичным образом.
Правила вычисления частных производных: частная производная от z = f(x,y) по х есть обычная производная по х условии y = const. При вычислении частной производной по y, наоборот, x = const.
Геометрический смысл частных производных. Условие y = const при вычислении z`x
означает, что производится сечение поверхности z = f(x,y) плоскостью y = y0 ^ оси Оу, которое дает плоскую кривую z = f(x,y0). Таким образом, производная z`x определяет скорость изменения функции вдоль этой кривой или тангенс угла наклона касательной к ней. Производная z`y связана с сечением поверхности ^ оси Ох (x = x0).
Полное приращение и полный дифференциал
Опр. Полным приращением функции z = f(x,y) наз. результат одновременного изменения всех аргументов, т.е. разность 
z = f(x+ x, y+ y) – f(x,y).
Полное приращение не является простой суммой частных приращений и может содержать x и y как в первой, так и в более высоких степенях.
Пр. z = xy. х z = y x, y z = x y, z = х z + y z + x y
По определению, дифференциалом функции одной переменной y = f(x) является главная часть приращения функции, линейная по x: y = А x + 
( x). Причем,
dy = А x = f (x) dx, а ( x) – более высокого порядка малости по x.
