Динамика вращательного движения материальной точки

Лк-3.

Сила тяжести – частный вид гравитационной силы. Величина гравитационной силы притяжения двух точечных масс m₁ и m₂ определена Ньютоном и известна как закон всемирного тяготения:

, (3.1)

где r - расстояние между массами, а G = 6,67 10 ^-11 Нм²/кг² - гравитационная постоянная. В частности, для силы тяжести на поверхности земли:

(3.2)

Откуда определится формула для ускорения свободного падения:

Радиус земли известен R_земл=6380 км. Данная формула позволяет вычислить массу земли.

Динамика вращательного движения материальной точки

Рассмотрим ситуацию вращательного движения материальной точки с массой m вокруг оси, которую для определенности направим вертикально, как показано на рис. 2.5. Линейная скорость движения точки по окружности - v связана с угловой скоростью - ω формулой (2…)

Импульс точки . Назовем моментом импульса величину

(3.3)

Подставим в (2.14) вместо р его выражение через линейную скорость:

(3.4)

Величина называется моментом инерции материальной точки, а формула (3.4) по форме аналогична формуле импульса, в которую вместо массы точки подставлен ее момент инерции, а вместо скорости - угловая скорость. Продифференцируем по времени (3.4)

Первое слагаемое в правой части равно нулю, так как векторы импульса - р и скорости dr/dt параллельны. Во втором слагаемом производная от импульса, согласно второму закону Ньютона, представляет силу, действующую на точку. Следовательно

(3.5)

Величина

(3.6)

называется моментом силы F относительно оси вращения. Таким образом, производная по времени от момента импульса равна моменту силы. Вновь получаем аналогию с поступательным движением, при котором производная по времени от импульса равна силе.

С другой стороны, взяв производную по времени от (3.4), получим

, где ε - угловое ускорение. Заменив dN/dt моментом силы, получим аналог второго закона Ньютона для вращательного движения:

(3.7)

Все формулы для вращательного движения материальной точки легко запомнить, поскольку по форме они аналогичны формулам поступательного движения. Необходимо только заменить массу на момент инерции, силу - на момент силы, скорость - на угловую скорость, импульс - на момент импульса.

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса m	Момент инерции j=mr2
Линейная скорость	Угловая скорость
Линейное ускорение	Угловое ускорение
Сила	Момент силы
Импульс	Момент импульса
Основное уравнение динамики	Основное уравнение динамики

Пример: Качание тела, подвешенного на нити длиной l, является движением по окружности с центром в точке подвеса. Составить уравнение движения тела, используя в качестве координаты угол отклонения нити от вертикали. Поместим начало координат в точку подвеса - О. Координатой материальной точки будет угол α между нитью подвеса и вертикалью. Этот угол мы считаем векторной величиной, причем направлен этот вектор перпендикулярно плоскости рисунка от нас. В ту же сторону направим ось Z. Очевидно, что точка будет совершать колебательное движение по окружности с радиусом |r|. Составим уравнение движения. Само уравнение движения очень простое, его можно записать в форме (3.7). Однако, для этого необходимо выразить векторы момента силы и углового ускорения через данные задачи. Мы считаем данными длину нити подвеса |r|=l. Обозначим через m массу мат. точки.

Момент силы тяжести:

Момент инерции J=m|r|²=ml²

Уравнение движения:

Подставим это в уравнение движения

После сокращения на m приходим к выводу о том, что масса точки не влияет на характер движения.

При работе с векторами на какой-то стадии требуется переход к скалярным величинам. Этот переход осуществляется путем проецирования векторов на произвольно выбранную ось. Умножим левую и правую части векторного уравнения на единичный вектор оси, перпендикулярной плоскости рисунка.

Векторное произведение направлено против оси Z, поэтому . Вектор углового ускорения со направлен с осью Z, поэтому . В результате получим скалярное уравнение

Это и есть искомое уравнение движения. Его нужно сократить на l и вместо углового ускорения - ε подставить вторую производную по времени от угла α:

Если решить это уравнение, то мы получим зависимость угла α от времени. Из вида уравнения следует, что единственным параметром этой зависимости является отношение g/l.

Работа и энергия. Элементарной работой dA силы F на перемещении dl называется их скалярное произведение (см. рис):

(3.8)

В декартовой системе координат величину элементарной работы (по правилам записи скалярного произведения) можно записать в следующем виде:

dA=F_xdx+F_ydy+F_zdz (3.9)

где F_x, F_y, F_z - проекции силы на оси координат и dx, dy, dz - cоответствующие проекции перемещения. Для подсчета работы переменной силы на конечном перемещении необходимо просуммировать все элементарные работы

Когда суммируются бесконечно много бесконечно малых слагаемых типа , вместо значка Σ используется значок ∫, а вместо индекса суммирования –i указываются начальная и конечная точки пути, например a и b. В результате запись формулы для работы примет следующий вид:

Размерность работы [Н*м] называется Джоулем: 1Дж=1Н*1м.

Пятиминутка. Человек везет сани, как показано на рисунке. Пройденный путь – 1 км, модуль приложенной силы 10 Н, угол α=60^о. Вычислить совершенную работу.

Кинетическая энергия. Если на тело массы m действует некоторая сила F, сообщая ему ускорение - а, то эта сила совершает работу, которая связана с изменением скорости тела. Вычислим элементарную работы на участке траектории dl.

Поменяем местами множители в скалярном произведении:

 

Скалярное произведение v*dv представляет собой произведение модуля скорости - v на проекцию приращения скорости на направление вектора скорости. Эта проекция называется тангенциальным приращением скорости, которое равно увеличению ее модуля. Следовательно

Или так: . В данном случае v – это модуль скорости. Определим скалярную величину, производная от которой по модулю скорости равна mv, и назовоем ее кинетической энергией.

Эта величина называется кинетической энергией движущегося тела. Поскольку и , мы приходим к выводу о том, что dA=dW_к. Элементарная работа, совершенная силой, разгоняющей материальную точку, перешла в приращение кинетическую энергию этой точки. Этот же вывод справедлив и на конечном участке траектории: работа, совершенная разгоняющей силой равна приращению кинетической энергии тела.

Пятиминутка. Тело массой 1 кг брошено горизонтально с начальной скоростью 50 м/с. Вычислить работу силы тяжести и кинетическую энергию в конце 2 секунды движения.

Потенциальная энергия. Во многих случаях сила, действующая на тело, оказывается зависимой от его положения, от координат тела. И величину силы вдоль координатной оси можно вычислить путем дифференцирования некоторой величины по этой координате.

(3.12)

В этом случае сила называется потенциальной, а величина U – потенциальной энергией тела.

Элементарная работа потенциальной силы

Т.е. равна убыли потенциальной энергии тела.

В качестве примера рассмотрим вычисление работы центральной силы, т.е. силы, которая действует по прямой, соединяющей два взаимодействующих тела (материальные точки), и величина этой силы зависит только от расстояния между ними. Пусть материальная точка О действует на другую точку В центральной силой F. Точка В перемещается из положения 1 с радиусом-вектором r₁ в близкую точку 2, радиус-вектор которой - r₂ (см. рис.3.2). Перемещение точки В равно dr и формула для элементарной работы запишется в обычном виде:

Так как сила является центральной она направлена вдоль радиус-вектора, поэтому скалярные произведения и оказываются равными произведениям модулей силы и радиус-вектора. Тогда

(3.11)

где dr - приращение расстояния между взаимодействующими точками на малом участке траектории. Знак ± соответствует двум возможным знакам скалярного произведения Если вектор силы параллелен радиус-вектору, косинус угла между ними равен 1, ставится знак +. Это случай отталкивания между телами. Если же вектор анти параллелен радиус-вектору, угол между ними равен π, а косинус его равен -1. Этот случай соответствует притяжению между телами, ему соответствует знак -. Работа центральной силы на конечном участке траектории между точками 1-2 находится суммированием всех элементарных работ, с учетом того. что величина силы зависит от расстояния между телами, т.е.

(3.12)

где U(r) - потенциал силы.

Из (3.12) видно, что работа центральной силы не зависит от формы траектории и определяется только расстояниями между взаимодействующими мат. Поскольку ребота потенциальных сил не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точки, работа потенциальной на траектории, где начальная и конечная точки совпадают, равна нулю.

Для силы тяготения земли, которая является центральной силой, работа при увеличении расстояния от земной поверхности от r₁ до r₂ согласно выражению (3.12) равна:

В частности, если r₁=R₃ - радиусу земли, а r₂=∞, т.е. тело удаляется от земли в бесконечность, сила притяжения совершает работу