Внутрішнє тертя і теплопровідність газів

ЯВИЩА ПЕРЕНесення

Внутрішнє тертя газів.

Теплопровідність газів.

Самодифузія в газах.

Література: [1] стор. 355-383 [2] стор. 131-180 [7] стор. 326-352

· В чому сутність явищ перенесення? Які умови їх виникнення і які їх закономірності?

· Чому поперечний перетин зіткнень зменшується із збільшенням температури?

· Яка особливість зіткнення молекул обумовлює виникнення термодифузії?

· В чому головна відмінність механізму перенесення в твердих тілах і рідинах від механізму перенесення в газах?

 

 

Внутрішнє тертя і теплопровідність газів

 

Для того щоб отримати уявлення про сили внутрішнього тертя, часто використовують наступну ілюстрацію. Нехай між двома пластинками знаходиться повітря або будь-який інший газ. При цьому відстань між пластинками повинна бути набагато більша за середню довжину вільного пробігу молекули газу. В цьому випадку можна говорити про сили взаємодії всередині газу безвідносно до наявності чи відсутності пластин.

Приведемо до руху верхню пластинку. При цьому з’явиться сила, що діє на нижню пластинку вбік напрямку руху. Ця сила і є силою тертя.

Нехай газ необмежений і рухається стаціонарно плоско-паралельними шарами в горизонтальному напрямку. Швидкість такого макроскопічного руху u змінюється в напрямку, перпендикулярному до шарів. Якщо в цьому напрямку напрямити вісь OZ, то . Розділимо подумки газ на дві половини площиною АВ, паралельною шарам газу. Нехай для визначеності швидкість u (z) зростає із зростанням z. В цьому випадку верхня половина газу буде діяти на нижню з силою, напрямленою вправо, а нижня на верхню з силою, напрямленою вліво. Це і є сили внутрішнього тертя.

Розглянемо механізм появи сили внутрішнього тертя. Коли газ покоїться, всі напрямки швидкостей його молекул рівноймовірні. Середня швидкість і середня кількість руху кожної молекули дорівнює нулеві (що можна сказати про абсолютні значення цих величин?). При наявності впорядкованого руху середня швидкість рівна u (z), з якою пов’язана кількість руху молекули g = m u (z). Таку кількість руху умовно можна назвати впорядкованою. Молекули над площиною АВ мають більшу впорядковану кількість руху, ніж молекули під нею. Коли молекули переходять із півпростору над АВ, то вони передають частину впорядкованої кількості руху молекулам, з якими вони стикаються в півпросторі під АВ. Тобто газ, розташований нижче площини АВ відчуває на собі дію сили, напрямлену вбік u. Аналогічно, більш повільні молекули при переході в верхні шари при зіткненні віднімають частину впорядкованої кількості руху у молекул, розташованих в верхній частині півпростору. Як наслідок, газ над АВ відчуває гальмуючу силу напрямлену проти u.

Розглянемо кількісно явище внутрішнього тертя. Будемо вважати, що швидкості всіх молекул однакові і рівні v. Можна вважати (чому?), що всі молекули розділені на шість однакових потоків, паралельних координатним осям. Таким чином, одна шоста всіх молекул буде рухатись знизу вгору, одна шоста - згори вниз. Тільки молекули цих двох потоків беруть участь у передачі кількості руху. Молекули інших чотирьох потоків рухаються паралельно площині АВ і в передачі імпульсу безпосередньо участі не беруть (але вони будуть визначати середню довжину вільного пробігу λ).

На тепловий рух молекул у вертикальному напрямку накладається впорядкований рух вправо, і швидкість цього руху однозначно визначається координатою z. Будемо вважати, що зміна впорядкованої швидкості на довжині вільного пробігу дуже мала.

Візьмемо на площині АВ одиничну площадку. Початок координат розмістимо в цій же площині. Знайдемо кількість руху, яка за секунду переноситься крізь S. Кількість молекул, що перетинає S за одиницю часу згори вниз

. (1)

Нехай N з них пройшли шлях z до площадки, не зазнавши зіткнень. Це число . Пригадаємо, що 1/ λ – ймовірність зіткнення на одиниці довжини, dz / λ – ймовірність зіткнення на шляху dz. Отже, число молекул, що зазнають останнє зіткнення в шарі між z та z + dz, дорівнює

. (2)

При зіткненні в цьому шарі молекула отримує кількість руху g (z), і рухаючись далі без зіткнень, переносить цю величину крізь площадку S. Кількість руху, що переноситься всіма N ₀ молекулами, визначається інтегралом

. (3)

Оскільки на довжині вільного пробігу швидкість u змінюється мало, то функцію g (z) можна розкласти по степеням z, обмежившись лінійними по z членами: . При цьому

,

. (4)

Осатаній вираз можна записати як . Тобто все відбувається так, начеб то всі молекули, що летять до S, зазнали останні зіткнення на відстані від цієї площадки і далі рухаються без зіткнень. Цим положенням часто користуються для описання явищ переносу. В формі (4) це концентрація частинок біля S.

В повній аналогії до (4), можна стверджувати, що молекул, які летять знизу вгору, переносять в тому ж напрямку кількість руху

. (5)

Повна кількість руху, яка щосекундно переноситься крізь площадку S в додатному напрямку вісі Z, визначиться як різниця (5) та (4)

. (6)

Але сила, з якою один шар діє на іншій, записується в формі

. (7)

Порівнюючи (7) та (6), можна записати вираз для коефіцієнта внутрішнього тертя

. (8)

 

Теплопровідність

Нехай між двома нескінченими пластинами, перпендикулярними до вісі Z, знаходиться газ. Температури пластин Т ₁ і Т ₂ підтримуються постійними. В цьому випадку буде відбуватись передача тепла в такий же спосіб, як в аналогічному випадку відбувається передача кількості руху. Для розрахунку потоку тепла q можна скористатись формулою (6), замінивши в ній імпульс g на енергію ε. В області температур, де справедлива класична теорія теплоємності, енергія молекули пропорційна температурі і може бути представлена у вигляді , де питома теплоємність газу при постійному об’ємі.

Маємо з (6)

. (8)

Порівнюючи (8) із законом теплопровідності , отримуємо вираз для теплопровідності газу

. (9)

Якщо використати вираз для густини , то формули (8) і (9) можна переписати у вигляді

. (10)

Але λ обернено пропорційно до ρ. Звідки випливає, що коефіцієнти внутрішнього тертя і теплопровідності не залежать від густини газу. Такий висновок вперше було зроблено Максвелом, і він здався йому парадоксальним. Але досліди Максвела і інших дослідів підтвердили цей висновок.

Цьому можна дати наступне пояснення. Якщо густина газу велика, то в переносі імпульсу і енергії бере участь велика кількість молекул. Однак передача імпульсу і енергії за час між двома послідовними зіткненнями реалізуються малими порціями і на малі відстані. Якщо ж густина мала, то змінюється і кількість молекул, що бере участь в переносі. Але це зменшення повністю компенсується тим, що молекули переносять імпульс і енергію більш крупними порціями і на більші відстані.

Зауваження. Коефіцієнти κ та η не залежать від густини газу, якщо відстань між пластинками d набагато більша за довжину вільного пробігу λ. (Поясніть залежність κ та η від ρ для випадку .)

Коефіцієнти κ та η також проявляють залежність від ρ, коли розміром молекул не можна знехтувати в порівняння з λ.

 

Самодифузія в газах

Нехай деякий об’єм розділено на дві половини і в одній половині знаходиться деякий газ 1, а в іншій – газ 2. Нехай тиск і температура обох газів однакова. Якщо убрати перегородку, яка розділяла частинки об’єму, обидва газу почнуть перемішуватись. Причиною цього є хаотичний тепловий рух молекул. Через деякий час концентрації компонент стануть однаковими у всьому об’ємі. Проникнення молекул одного газу в іншій називається взаємною або концентраційною дифузією.

Дифузія також буде відбуватись, якщо в обох частинах буде знаходитися один і той же газ. Але в цьому випадку її називають самодифузією. Через тотожність частинок явище самодифузії макроскопічно не проявляє себе. Для спостереження самодифузії використовують суміш двох ізотопів газу, один з яких є радіоактивним.

Нехай концентрація „мічених” молекул і „немічених” молекул змінюється в об’ємі вздовж напрямку Z. Якщо спільна концентрація частинок і температура газу залишається постійними, то буде постійним і тиск у всьому газі. Через це макроскопічний рух в газі виникнути не може, і перемішування молекул можливе лише за рахунок дифузії. Молекули газу 1 і молекули газу 2 будуть дифундувати в протилежних напрямках – від місць з більшою концентрацією до місць з меншою концентрацією. Для кількісного описання явища вводять поняття дифузійного потоку. Дифузійний потік Г – кількість молекул певного типу, що проходить крізь одиничну площадку, перпендикулярну до градієнту концентрації, за одиницю часу. Задача теорія дифузії полягає у розрахунку дифузійних потоків.

Для знаходження дифузійних потоків Г ₁ і Г ₂ обох газів скористаємось формулою (6). При цьому в якості величини g, що переноситься, розглядаються відносні концентрації газів та . Підставивши даний вираз у (6), для дифузійного потоку першого газу отримуємо

. (11)

Аналогічно можна записати вираз і для 2 газу. Остаточно

, . (12)

Оскільки повна концентрація величина постійна, то (12) можна записати у вигляді

, . (13)

Із постійності повної концентрації випливає також, що + = 0, а отже . Дифузійні потоки обох газів однакові за величиною, але напрямлені протилежно.

Формула (12) є математичною формою закону Фіка: дифузійний потік пропорційний градієнту концентрації. Величина D – коефіцієнт дифузії. У випадку самодифузії вона задається виразом

. (14)

Зауваження: Закон Фіка виконується і для дифузії різних газів. Формулою (14) можна користуватись лише у випадку, коли концентрація розглядуваного газу дуже мала в порівнянні з концентрацією іншого газу суміші. При виконані цієї умови середня довжина вільного пробігу молекул розглядуваного газу λ визначається їх зіткненнями лише із молекулами іншого газу. Взаємні зіткнення між молекулами розглядуваного газу ролі не грають.

Якщо концентрації обох газів в суміші одного порядку, то при розбудові теорії концентраційної дифузії за методом довжини вільного пробігу необхідно вводити λ для двох газів окремо. Ці довжини вільного пробігу є характеристиками суміші газів. При цьому теорія не дуже добре узгоджується з дослідом. Кращі результати дає теорія, в якій не використовується поняття довжини вільного пробігу.