Операції та елементи симетрії

Тверде тіло

 

Тверді тіла. Симетрія твердих тіл.

Кристалічні ґратки.

Реальні кристали

Література: [1] стор. 301-313, [2] стор. 399-416, [7] стор. 509-535

· В чому особливості структури твердого тіла?

· Що таке примітивна ґратка?

· Чи співпадає симетрія ґратки в цілому із симетрією її елементарної комірки? Звідки це видно?

· Скільки типів кристалічних систем існує?

· Як позначаються напрямки і площини в кристалах?

 

Тверді тіла

Тверде тіло – агрегатний стан речовини, що відрізняються стабільністю форми і характерам теплового руху атомів, які здійснюють малі коливання навколо положення рівноваги. Розрізняють кристалічні і аморфні тверді тіла. Стійким станом твердих тіл є кристалічний.

При достатньо низьких температурах всі речовини (за виключенням гелію) переходять в твердий стан. Тобто, коли швидкість теплового руху частинок стає малою, сили взаємодії між ними на стільки обмежують їх переміщення, що тіло отримує властивість зберігати форму.

Між тим властивість зберігати форми не є головною ознакою, за якою визначають стан речовини. Різноманітні смоли і пластмаси при низьких та кімнатних температурах зберігають форму. Але при нагріванні вони розм’якшуються і отримують характерну для рідин властивість текти. Такі речовини називають аморфними. Перехід в рідкий стан істинних твердих тіл відбувається стрибком, при постійній температурі (температурі плавлення).

Властивості твердих тіл зумовлені головним чином тим, що атоми розташовані в них не хаотично, як в рідинах та газах, а в певному, в характерному для кожної речовини порядку (як бути з аморфними твердими тілами?). Таке впорядкування в розташуванні атомів поширюється на весь об’єм тіла – так званий дальній порядок. Тіла, атоми або молекули яких утворюють впорядковану періодичну структуру (кристалічну ґратку), називають кристалами (від гр. krystallos - лід). В аморфних і рідких тілах впорядковане розташування частинок поширюються лише на сусідні атоми (ближній порядок).

Для кристалів важливою характерною властивості є симетрія. Симетрія (від гр. symmetria - соразмірність), в широкому значенні – інваріантність (незмінність) структури, властивостей, форми матеріального об’єкту відносно його перетворень (т.б. зміни ряду фізичних умов).

В кристалах симетрія проявляє себе в тому, що кристал можна сумістити самого з собою шляхом поворотів, відбивань, паралельних переносів (трансляцій) і інших перетворень симетрії, а також комбінація цих перетворень. Симетрія властивостей кристалу як раз і обумовлена симетрією його будови.

Детально будова твердих тіл і їх властивості будуть розглядатись в різних спецкурсах. Нижче в якості знайомства розглянемо основні означення.

 

Операції та елементи симетрії

Відбивання і повороти, що переводять багатогранник самого в себе, називають перетвореннями симетрії або симетричними операціями. А уявні площини, лінії і точки, з допомогою яких здійснюються ці відбивання і повороти, називають елементами симетрії.

Всього чотири елемента симетрії: площина симетрія, вісь симетрії, центр симетрії, вісь інверсії.

Для позначення симетричних перетворень і відповідних до них елементів симетрії використовують дві системи позначень – міжнародну, прийнятою інтернаціональною спілкою кристалографів, і символіку, основану на формулах симетрії.

Площиною симетрії називають таку площину в симетричній фігурі, відбившись у якій, як у двосторонньому дзеркалі, фігура збігається сама з собою. Площину симетрії позначають за формулою симетрії буквою Р, за міжнародною номенклатурою - m.

Площини симетрії ділять фігуру на дзеркально рівні частини і проходять крізь середини граней і ребер перпендикулярно до них, або вздовж ребер, утворюючи рівні кути з однаковими гранями і ребрами. Саме тому у випадку прямокутної фігури (рис. 1) можливі дві площини симетрії – Р ₁ і Р ₂, а діагональ AD, хоч і ділить цей прямокутник на дві однакові частини, не є площиною симетрії.

Рисунок 1 Рисунок 2

 

Як видно з рис. 2 в кубі 3 взаємо перпендикулярні площини симетрії ділять навпіл протилежні грані куба як координатні площини прямокутної системи координат, а шість площин симетрично проходять вздовж діагоналей куба. Всі дев’ять площин симетрії кубу перетинаються в одній точці – в центрі кубу.

Віссю симетрії називається пряма, при повороті навколо якої фігура збігається сама з собою. Найменший кут, на який треба повернути навколо осі, щоб вона співпала сама з собою, називається елементарним кутом повороту даної осі. Якщо позначимо елементарний кут через α, а число збігань фігури самої з собою при повороті на 360^o через n, то n = 360/ α і називається порядком осі симетрії. Порядком осі симетрії називається число самосуміщень фігури при повороті навколо осі на 360^o.

Позначення: міжнародне – n, за формулою симетрії – L_n.

Для геометричних фігур можливі будь які цілі значення n від 1 до ¥ (для циліндра, конуса тощо). Куля має нескінчену кількість осей симетрії нескінченного порядку вздовж діаметрів. Існують осі симетрії другого, третього четвертого і т.д. порядків. При , , , і т.д. У куба є три вісі 4-го поряду, які проходять крізь центр протилежних граней, 4 всі 3-го порядку, що являються просторовими діагоналями кубу і 6 осей 2-го порядку, що проходять середини пар протилежних ребер. Осі перетинаються в центрі куба.

Проте для осей симетрії кристалів існують певні обмеження. Щільно заповнити площину можна лише за допомогою трикутників, паралелограмів і шестикутників. З цього випливає, що кристали можуть мати лише осі симетрії другого, третього, четвертого і шостого порядків.

Центром інверсії називаються особлива точка всередині фігури, при відбивані в якій всіх точок фігури вона суміщається сама з собою. Центр інверсії – особлива точка всередині фігури, яка характерна тим, що будь-яка проведена крізь цю точку пряма на однакових відстанях по обидві сторони від точки зустрічає однакові точки фігури (рис 3). Позначення: міжнародне – 1, за формулою симетрії – С.

Інверсійною віссю симетрії називається пряма, при повороті навколо якої на певний кут і одночасному відбитті в центральній точці фігури, як в центрі інверсії, фігура суміщається сама з собою. Позначення: міжнародне – n; за формулою симетрії – L = L_ni. Осі інверсії діють як осі симетрії і одночасно центр інверсії. Це дозволяє зробити такі висновки:

1. Центр інверсії, будучи складовою частиною інверсійної осі, як самостійний елемент може не виявлятися.

2. Вісь інверсії першого порядку L _{1 i} діє як центр інверсії С.

3. Вісь інверсії другого порядку L _{2 i} замінюється площиною симетрії Р, перпендикулярної до осі.

4. Вісь інверсії третього порядку L _{3 i} рівносильна осі симетрії третього порядку і центру інверсії L ₃ С.

Як самостійні елементи симетрії існують L _{4 i} і L _{6 i}. Вісь інверсії четвертого порядку L _{4 i} повертає фігуру на 90 ^оС і відбиває її крізь центр. L _{4 i} може діяти і як вісь другого порядку – L _{2 i}. Вісь інверсії шостого порядку L _{6 i} рівносильна осі симетрії третього порядку і перпендикулярній їй площині симетрії L _{6 i} = L ₃ Р.

Розглянуті вище елементи симетрії характерні тим, що вони залишають нерухомою хоч б одну точку тіла, саме тіло при перетвореннях як ціле не переміщується.

Слід відзначити, всі перераховані елементи симетрії можна описати з допомогою одних лише відбивань в площині.

Зовнішня, видима симетрія кристалів повністю описується приведеними вище елементами симетрії і їх чередуваннями.

 

 

Кристалічні ґратки

При утворенні твердого тіла положення точок, біля яких атоми здійснюють малі коливання, визначаються умовами рівноваги. Якщо ці умови виконані в деякій точці простору і призвели до певного взаємного розташування молекул в цій області, то вони повинні бути виконанні і в іншій точці простору і повинні обумовити антологічне розташування атомів в тій області. А це означає, що взаємне розташування молекул повторюється при переході від одних областей простору до інших. Така періодична повторюваність і являє собою кристалічну ґратку. Плоскі грані кристалу, утвореного в рівноважних умовах, відповідають атомним площинам, ребра – рядам атомів. Існування кристалічної ґратки пояснюється тим, що рівновага сил притягування і відштовхування між атомами, що відповідає мінімуму потенціальної енергії, досягається за умови трьохмірної періодичності.

Кожну кристалічну ґратку можна побудувати з множини паралелепіпедів однакової величини, які називають елементарними паралелепіпедами або елементарними комірками.

Отже, складовою частиною просторової кристалічної ґратки є паралелепіпед, побудований на векторах a, b, c (рис. 3). Взаємне положення цих векторів задається кутами α, β, γ, де , , . Вектори a, b, c називають основним, а їх довжини – періодами ідентичності.

Коли будь-який з вузлів кристалічної ґратки вибрати за початок координат, то положення будь-якого іншого вузла можна визначити із співвідношення

, (1)

де m, n, p - цілі числа, пропорційні кількості періодів ідентичності вздовж відповідної координати. Вони називаються індексами вузлів. – радіус- вектор вузла . Ґратка, вузли якої задаються з допомогою формули (1), називається ґраткою Браве.