Ортонормированный базис. Ортогональное дополнение. Проекция, перпендикуляр, наклонная. Плоскость в линейном пространстве

 

Вопросы для самоконтроля:

1.В чем заключается процесс ортогонализации?

2.Что такое ортонормированный базис? Как его найти?

3.Как находится ортогональный базис линейной оболочки конечной системы векторов?

4.Что такое ортогональное дополнение подпространства? Как его найти?

5.Что такое ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора на подпространство?

6.Что такое плоскость, ее вектор сдвига и направляющее подпространство?

7.Какие уравнения плоскости вы знаете?

8.Как можно задать подпространство в линейном пространстве?

 

ВАРИАНТ 1

1.Найти ортонормированную фундаментальную систему решений системы уравнений:

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(39,1,33,0) на подпространство L(y₁,y₂,y₃), где y₁=(1,3,0,2), y₂=(3,7,-1,2), y₃=(2,4,-1,0).

3.Задать подпространство L(a₁, a₂, a₃) уравнениями, если a₁=(1,2,-3,4), a₂=(2,1,-3,1), a₃=(1,-1,-3,4).

 

ВАРИАНТ 2

1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства L(a₁,a₂,a₃,a₄), где a₁=(1,1,-1,-2), a₂=(-2,1,5,11), a₃=(0,3,3,7), a₄=(3,-3,-3,-9).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора z=(-1,1,3,1) на подпространство L(a₁, a₂, a₃), где a₁=(1,2,1,1), a₂=(2,3,1,0), a₃=(3,1,-2,-7).

3.Подпространство задано уравнениями:

Задать его в виде линейной оболочки.

 

ВАРИАНТ 3

1.Построить ортонормированный базис пространства А₄, содержащий векторы (1/2, 1/2, 1/2, 1/2),

(1/6, 1/6, 1/2, -5/6).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(2,-5,2,1) на подпространство L(a₁, a₂, a₃), где a₁=(1,1,-1,2), a₂=(1,-1,1,4), a₃=(-2,1,-1,7).

3.Найти точку пересечения прямых x=a₀+a₁t, y=b₀+b₁t, где
a₀=(2,1,1,3,-3), a₁=(2,3,1,1,-1), b₀=(1,1,2,1,2), b₁=(1,2,1,0,1).

 

ВАРИАНТ 4

1.Проверить, что векторы а₁, а₂ ортогональны, дополнить их до ортогонального базиса пространства А₄, если а₁=(1,-1,1,-3),
а₂=(-4,1,5,0).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(8,3,1,-1) на подпространство L(a₁, a₂, a₃), где а₁=(2,3,-1,1), а₂=(4,-3,3,1), а₃=(2,-15,9,5).

3.Дана плоскость P=x₀+A, x₀=(1,2,-1,0), A=L(a₁,a₂),

a₁=(-1,3,1,1), a₂=(3,1,0,4). Найти общие уравнения

плоскости.

 

ВАРИАНТ 5

1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства L(a₁, a₂, a₃), где a₁=(1,1,1,-2,0), a₂=(0,2,5,0,0), a₃=(1,1,3,-1,2).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(4,8,-8,0) на подпространство L(a₁, a₂, a₃), где a₁=(1,3,3,5), a₂=(1,3,-5,-3), a₃=(1,3,11,13).

3.Плоскость Р задана уравнениями:

Найти для нее вектор сдвига и направляющее подпространство.

 

ВАРИАНТ 6

1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства L(a₁, a₂, a₃), где a₁=(-1,-2,1,2), a₂=(1,0,-2,-1), a₃=(2,1,0,0).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(10,-3,8,9) на подпространство L(a₁,a₂,a₃), где a₁=(-1,-1,1,0), a₂=(2,1,2,1), a₃=(8,1,8,3).

3.В пространстве А₅ дана плоскость x=x₀+t₁a₁+t₂a₂, где x₀=(2,1,3,5,-1), a₁=(3,-1,2,4,0), a₂=(-3,-1,2,1,1). Проверить, принадлежат ли этой плоскости следующие векторы: b=(5,- 4,9,14,0), c=(- 4, 2,1,0,4).

 

ВАРИАНТ 7

1.Применяя процесс ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства L(b₁,b₂,b₃), где b₁=(1,1,1,1), b₂=(3,3,-1,-1), b₃=(-2,0,6,8).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора z=(-3,12,-9,12) на подпространство L(a₁,a₂,a₃), где a₁=(1,-1,1,-1), a₂=(1,2,1,2), a₃=(3,0,3,0).

3.Определить взаимное расположение плоскости P=x₀+A и прямой x=x₁+tg, где x₀=(1,0,01), A=L(y₁, y₂, y₃),

y₁=(5,2,-3,1), y₂=(4,1,-1,0), y₃=(-1,2,-5,3), x₁=(-2,0,-1,2),

g=(1,1,-2,1).

 

ВАРИАНТ 8

1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства L(a₁, a₂, a₃), где a₁=(1,2,1,3), a₂=(4,1,1,1), a₃=(3,1,1,8).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(30,33,2,1) на подпространство L(a₁,a₂,a₃),
где a₁=(2,1,3,2), a₂=(7,2,1,3), a₃=(3,0,5,1).

3.Задать подпространство L(a₁,a₂,a₃) уравнениями, если a₁=(3,19,17,0), a₂=(-13,-20,0,17), a₃=(-10,-1,17,17).

 

ВАРИАНТ 9

1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства L(a₁, a₂, a₃, a₄), где a₁=(2,1,3,-1), a₂=(7,4,3,-3), a₃=(5,7,7,8), a₄=(1,1,-6,0).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(4,12,1,20) на подпространство L(a₁,a₂,a₃), где a₁=(1,3,1,2), a₂=(2,1,1,3), a₃=(3,4,2,5).

3.Подпространство задано уравнениями:

Задать его в виде линейной оболочки.

 

ВАРИАНТ 10

1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на систему векторов a₁=(1,1,-1,-2), a₂=(5,8,-2,-3), a₃=(3,9,3,8).

2.Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x=(5,2,-2,2) на линейное подпространство L, натянутое на векторы a₁=(2,1,1,-1), a₂=(1,1,3,0), a₃=(1,2,8,1).

3.Найти ортонормированную Ф.С.Р. системы уравнений:

 

ВАРИАНТ 11

1.Проверить, что векторы а₁, а₂ попарно ортогональны, дополнить их до ортогонального базиса пространства А₄, где а₁=(1,1,1,2), а₂=(1,2,3,-3).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(14,-3,-6,-7) на подпространство А, натянутое на векторы y₁=(-3,0,7,6), y₂=(1,4,3,2), y₃=(2,2,-2,-2).

3.Исследовать взаимное расположение двух прямых x=x₁+tg₁, x=x₂+tg₂, где x₁=(8,2,5,15,-3), g₁=(7,-4,11,13,-5), x₂=(-7,2,-6,-5,3), g₂=(2,9,-10,-6,4).

 

ВАРИАНТ 12

1.Проверить, что векторы а₁, а₂ попарно ортогональны, дополнить их до ортогонального базиса пространства А₄, где а₁=(1,-2,2,-3), а₂=(2,-3,2,4).

2.Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(1,3,-6,1) на подпространство, натянутое на векторы y₁=(0,1,2,0), y₂=(-1,1,0,2), y₃=(1,1,4,-2).

3.Определить взаимное расположение плоскости P=x₀+L(a₁,a₂,a₃) и прямой x=x₁+tg, где x₀=(1,0,0,1), a₁=(5,2,-3,1), a₂=(4,1,-1,0), a₃=(-1,2,-5,3), x₁=(3,0,-4,1),

g=(-1,1,2,1).

 

ВАРИАНТ 13

1.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов a₁=(1,2,2,-1), a₂=(1,1,-5,3), a₃=(3,2,8,-7).

2.Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую z вектора x=(4,-1,-3,4) на подпространство L, натянутое на векторы a₁=(1,1,1,1), a₂=(1,2,2,-1), a₃=(1,0,0,3).

3.Найти общее уравнение плоскости P=L(a₁,a₂,a₃)+x₀, где x₀=(1,2,1,3), a₁=(1,1,1,1), a₂=(2,1,3,1), a₃=(5,3,7,3).

 

 

Лабораторная работа 12