ВСТУП
Метою проведення розрахунково-графічної роботи є закріплення, поглиблення та узагальнення знань, здобутих студентами під час вивчення змістового модуля«Аналогова обробка сигналів», їх застосування до комплексного розв’язання задачі синтезу та розроблення схеми активного RC‑фільтра (із використанням ПЕОМ).
У результаті виконання розрахунково-графічної роботи студент повинен знати послідовність виконання аналізу й синтезу активного RC-фільтра, уміти практично виконувати всі етапи аналізу й синтезу активного RC-фільтра.
Кожен студент отримує індивідуальне завдання для виконання розрахунково-графічної роботи у вигляді виданого керівником номера варіанта, що відповідає номерам рядків із вихідними даними в таблиці 1. Робота виконується згідно з переліком питань, які необхідно опрацювати. Слід пам’ятати, що розрахунково-графічна робота – це самостійна навчальна робота студента.
Завершена робота містить текстову частину та графічний матеріал, що її ілюструє. Обов’язковий графічний матеріал може бути викреслений як уручну, так і засобами відповідного програмного забезпечення ПЕОМ. Текстова частина також може бути рукописною або роздрукованою за допомогою ПЕОМ. Обсяг звіту не має перевищувати 10-15 аркушів. Робота має бути зброшурована степлером та поміщена у канцелярський файл.
Перелік питань, які необхідно опрацювати:
1. Виконати синтез активного RC-фільтра, параметри якого задані в таблиці 1.
2. Розробити принципову схему синтезованого пристрою.
Розрахунково-графічна робота повинна вміщувати текстову частину в такому складі:
- титульний лист;
- завдання на розрахунково-графічу роботу;
- зміст;
- список літератури (як рекомендованої у завданні, так і додаткової, якщо вона використовувалась виконавцем).
Обов’язкові графічні матеріали:
- АЧХ синтезованого активного RC-фільтра;
- принципова схема синтезованого пристрою.
Таблиця 1
| № з/п | Смуга пропускання, кГц | Затухання в смузі пропускання Ap maх , дБ | Смуга затримування, кГц | Затухання в смузі затримування Ap mіn, дБ | Характеристика загасання |
| 0 - 1 | 1,5 | 2 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 5 | 1,1 | 3 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 – 1,2 | 1,2 | 2,2 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 4,5 | 1,3 | 2,5 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 – 1,4 | 1,4 | 3,4 - ¥ | Чебишева | ||
| ¥ - 4 | 1,6 | 2 - 0 | Чебишева | ||
| 0 – 1,6 | 1,7 | 3,6 - ¥ | Чебишева | ||
| ¥ - 3,5 | 1,8 | 1,5 - 0 | Чебишева | ||
| 0 – 1,8 | 1,9 | 3,8 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 3 | 2,0 | 1 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 – 2 | 1,95 | 4 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 2,5 | 1,85 | 0,5 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 – 2,2 | 1,75 | 4,2 - ¥ | Чебишева | ||
| ¥ - 2 | 1,65 | 0,5 - 0 | Чебишева | ||
| 0 – 2,4 | 1,55 | 4,4 - ¥ | Чебишева | ||
| ¥ - 6 | 1,45 | 4 - 0 | Чебишева | ||
| 0 – 2,6 | 1,35 | 3,6 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 6,5 | 1,25 | 4,5 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 – 2,8 | 1,15 | 3,8 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 7 | 1,05 | 5 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 - 3 | 0,95 | 5 - ¥ | Чебишева | ||
| ¥ - 7,5 | 0,9 | 5,5 - 0 | Чебишева | ||
| 0 – 3,2 | 0,85 | 5,2 - ¥ | Чебишева | ||
| ¥ - 8 | 0,8 | 6 - 0 | Чебишева | ||
| 0 – 3,4 | 0,75 | 5,4 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 8,5 | 0,7 | 6 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 – 3,6 | 0,65 | 4,8 - ¥ | Баттерворта | ||
| ¥ - 9 | 0,6 | 6 - 0 | Баттерворта | ||
| 0 – 3,8 | 0,55 | 4,8 - ¥ | Чебишева | ||
| ¥ - 9,5 | 0,5 | 9 - 0 | Чебишева |
Вхідний опір: R вх = 50 кОм.
Коефіцієнт передачі фільтра в смузі пропускання | K 0| = 1.
Рекомендована література:
1. Коваль Ю.О., Гринченко Л.В., Милютченко О.І. Основи теорії кіл. – Ч.1: Навч. підручник. – Харків: ТОВ «Компанія СМІТ», 2006.– 492 с.
2. Коваль Ю.О., Гринченко Л.В., Милютченко О.І. Основи теорії кіл. – Ч.2: Навч. підручник. – Харків: ТОВ «Компанія СМІТ», 2008. – 560 с.
3. Куликовский А.А. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. – Том 2. – М.: Энергия, 1977.
4. Терещук Р.М. Полупроводниковые приёмно-усилительные устройства. – Справ. радиолюбителя. – К.: Наук. думка, 1988.
АНАЛІЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ ФІЛЬТРІВ
Загальні відомості про електричні фільтри
Одним з найбільш розповсюджених пристроїв радіотехніки є електричні фільтри. Вони застосовуються для виділення або заглушення визначених коливань, розділення каналів, формування спектра сигналів.
Електричним фільтром називається чотириполюсник, який пропускає без послаблення або з малим послабленням коливання визначених частот і пропускає із великим послабленням коливання інших частот.
Смуга частот, у якій послаблення мале, називається смугою пропускання.
Смуга частот, у якій послаблення велике, називається смугою непропускання (затримування). Між цими смугами розташована перехідна область (смуга переходу).
За розташуванням на шкалі частот смуги пропускання розрізняють такі фільтри:
- нижніх частот (ФНЧ), у яких смуга пропускання розташована на шкалі частот від Ω = 0 до деякої граничної частоти Ω = Ωн, а смуга непропускання – від частоти Ω = Ωз до нескінченно великих частот;
- верхніх частот (ФВЧ) зі смугою пропускання від частоти Ω = Ωв до нескінченно великих частот смугою непропускання від Ω = 0 до Ω = Ωз;
- смугові (СФ), у яких смуга пропускання Ωп1-Ωп2 розташована між смугами непропускання 0-Ωз1 і Ωз2-∞;
- загороджувальні (режекторні) (ЗФ або РФ), у яких між смугами пропускання Ωп1-Ωп2 знаходиться смуга непропускання Ωз1-Ωз2;
- гребінчасті (ГФ), які мають декілька смуг пропускання і непропускання.
Відповідно до елементної бази, яка використовується в сучасний період, виділилося декілька класів фільтрів.
Історично першими є пасивні фільтри, які містять елементи L та C. Вони мають назву LC-фільтрів.
У багатьох випадках на практиці була потрібна досить висока вибірковість, що призвело до появи фільтрів із механічними резонаторами: кварцевих, магнітострикційних, електромеханічних.
Найбільш значні досягнення в галузі теорії й проектування фільтрів пов’язані з успіхами мікроелектроніки. Вимоги до мікромініатюризації радіоелектронної апаратури привели до відмови у використанні індуктивностей, які мають великі габаритні розміри. Таким чином з’явились активні RC-фільтри, що складаються з резисторів, конденсаторів і активних приладів. Ці фільтри можуть бути виконані у вигляді мікромодульної конструкції або інтегральної мікросхеми.
Розроблення цифрових систем зв’язку і досягнення в сфері цифрових обчислювальних машин стимулювали утворення фільтрів на базі елементів цифрової та обчислювальної техніки – цифрових фільтрів.
Вимоги до електричних характеристик фільтрів.
Вибірковість фільтра (ступінь розмежування смуг пропускання і непропускання) визначається крутизною характеристики робочого затухання. В ідеальному випадку характеристика робочого затухання, наприклад для ФНЧ, має вигляд
Із робочим затуханням пов’язана робоча амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) 
. Очевидно, АЧХ ідеального ФНЧ має вигляд
Реальні фільтри (тобто фільтри, які складаються з реальних елементів) мають характеристики робочого затухання та АЧХ, які відрізняються від ідеальних.
Вимоги до електричних характеристик фільтрів задаються у вигляді обмежень, які накладаються на ці характеристики. Так, робоче затухання в смузі пропускання не повинно перевищувати деякого максимально припустимого значення А р max, а в смузі непропускання не повинно бути нижче деякого мінімально припустимого значення A p min.
Таким чином, знаючи вимоги до А р, можна перерахувати ці вимоги до АЧХ де
.
Характеристики фільтрів, які проектуються, повинні вкладатись в ці вимоги.
Окрім вимог до частотної залежності робочого затухання, можуть також накладатися вимоги до фазочастотної характеристики фільтра (припустимі відхилення від лінійного закону), нелінійних спотворень і до інших характеристик та параметрів фільтра.
Ідеальні частотні характеристики фільтра не можуть бути реалізовані, реальні частотні характеристики можуть лише наближатися до них з тим чи іншим ступенем точності залежно від складності схеми фільтра.
Електричні фільтри із передавальною функцією вигляду
(1)
називаються поліномінальними. Амплітудно-частотна характеристика таких фільтрів має вигляд
. (2)
Отже, робоче затухання
(3)
може при належному виборі степеня полінома (порядку фільтра) і коефіцієнта d k задовольняти заданим вимогам.
Серед поліномінальних фільтрів найбільш широке застосування знайшли фільтри Баттерворта й Чебишева.
Відмітимо, що в теорії фільтрів користуються нормованою частотою Ω = 
.
Фільтри Баттерворта
Якщо у виразах (2) і (3) прийняти коефіцієнти d 1= d 2=...= d m-1= 0, d m= 1, то з урахуванням нормованої частоти отримаємо:
, (4)
. (5)
Поліноми В m(Ω) = Ωm відомі під назвою поліномів Баттерворта.
Iз виразів (4) і (5) слідує, що на частоті Ω = 0 значення квадрата АЧХ дорівнює одиниці, а робочого затухання – нулю.
Зі зростанням частоти квадрат АЧХ фільтра Баттерворта зменшується, а робоче затухання плавно зростає до нескінченності. Таким чином, вирази (4) і (5) наближено відображають характеристики ідеального фільтра.
Для того, щоб ці характеристики відповідали вимогам до фільтра, необхідно мати робоче затухання виразу (5) у смузі пропускання менше А рmax, а в смузі непропускання більше А рmin. Першу умову можна задовольнити, якщо на граничній частоті (Ω = 1) покласти рівність: 
тоді 1 + d 0 = exp 
; d 0 = e2 A pmax - 1.
Величина Е = 
називається коефіцієнтом нерівномірності затухання в смузі пропускання фільтра, де А рмах вимірюється в неперах. Якщо А рмах вимірюється в децибелах, то справедливе співвідношення Е = 
.
З урахуванням уведених позначень:
, (6)
[Hp], (7)
А р = 10lg (1+ E 2Ω2m) [Дб]. (8)
Наведемо графічні залежності отриманих функцій (рис. 1):
Відмітимо, що крутизна частотних характеристик залежить від ступеня m, тобто чим більше m, тим вище крутизна характеристик.
Отже, для задоволення вимог у смузі непропускання необхідно вибрати відповідний порядок фільтра – m, який визначається за умови:
A p(Ω3) ≥ Apmin; 
e2Apmin; 
.
Після логарифмування отримаємо 2 m lnΩ3 ≥ ln 
.
Остаточно маємо
, (9)
. (10)
Передавальну функцію фільтра Баттерворта можна отримати з виразу (6), якщо припустити, що j Ω = р, тоді
. (11)
Визначимо корені знаменника, тобто полюси функції 
окремо для парних і непарних значень m.
Для парних m: 1 - E 2 p 2 m = 0 i 
, k = 1, 2,…, 2 m.
Оскільки 
= exp[ j (2 k - 1)π] = cos(2 k - 1)π + j sin(2 k - 1)π, то
p k = 
.
Для непарних m 
, k = 1, 2,…, 2 m – 1.
Тоді вираз (11) набуває вигляду:
.
Вибравши полюси, розташовані в лівій напівплощині комплексної змінної р, отримаємо передавальну функцію, що фізично реалізується фільтром Баттерворта вигляду:
, (12)
де 
.
Використовуючи позначення B m(Ω) = Ω2 m – полінома Баттерворта, можна представити частотні характеристики фільтра Баттерворта в такій формі:
| H p(j Ω)|2 = 
, (13)
[Hп], (14)
[Дб]. (15)
Фільтри Баттерворта називають також фільтрами із максимально плоскими характеристиками затуханням в смузі пропускання.
Фільтри Чебишева
Формули типу (13) - (15) за своєю структурою є універсальними. Достатньо замінити в них поліном Баттерворта на деякий інший поліном, і можна отримати новий вид фільтра. Наприклад, якщо замість полінома В m(Ω) використати так званий поліном Чебишева, тоді отримаємо:
; (16)
[Hп]; (17)
[Дб]. (18)
Т m(Ω) – поліном Чебишева степеня m, Е – коефіцієнт нерівномірності в смузі пропускання фільтра. Фільтри із характеристиками (16) - (18) називаються фільтрами Чебишева. Розглянемо шість поліномів Чебишева:
Т 0(Ω) = 1, Т 1(Ω) = Ω, Т 2(Ω) = 2Ω2 – 1, Т 3(Ω) = 4Ω3-3Ω,
Т 4(Ω) = 8Ω4 - 8Ω2+1, Т 5(Ω) = 16Ω5 - 20Ω3 + 5Ω.
Будь-який поліном Чебишева при m ≥ 2 може бути розрахований за рекурентною формулою: T m(Ω) = 2Ω T m-1(Ω) – T m-2(Ω), тому співвідношення (16) - (18) задовольняють загальним виразом (1) - (3) характеристик поліноміальних фільтрів.
Існує єдина тригонометрична форма запису поліномів Чебишева в інтервалі –1 £ Ω £ 1:
T m(Ω) = cos(m· arсcosΩ). (19)
Дійсно, Т 0(Ω) = cos(0arсcosΩ) = 1, T 1(Ω) = cos(1arсcosΩ) = Ω,
T 2(Ω) = 2cos(2arсcosΩ) – 1 = 2Ω2 – 1. За межами інтервалу –1 £ Ω £ 1 полiноми T m(Ω) також представляються в тригонометричній формі
T m(Ω) = ch(m· arcchΩ). (20)
Аналіз поведінки полiномiв Чебишева показує, що в iнтервалi –1 £ Ω £ 1 кут θ = arccosΩ змінюється вiд –π (при Ω = –1) до нуля (при Ω = +1) і m + 1 разiв досягає значень рiвних «+1» або «-1». Зовні інтервал –1 £ Ω £ 1 T m(Ω) відповідно до формули (20) монотонно зростає.
Згідно з формулою (18) робоче затухання А р(Ω) = 0 фільтра Чебишева на тих частотах, де поліном T m(Ω) перетворюється в нуль. На частотах, на яких T m(Ω) = ±1, робоче затухання досягає величини
А р = 10lg(1 + E 2) = 10lg(1 + 100,1 A pmax - 1) = A pmax.
Зі зростанням значень полінома T m(Ω) на частотах Ω > 1 робоче затухання А р(Ω) також монотонно зростає.
На рисунку 2 наведений графік робочого затухання фільтра Чебишева четвертого порядку.
Фільтри Чебишева називають також фільтрами з рiвнохвильовими характеристиками загасання в смузі пропускання.
Для того, щоб характеристики фільтра вiдповiдали вимогам в смузі непропускання, необхідно вибрати порядок фільтра m з умови
| Н р 
exp[-2 A pmin], ураховуючи формулу (20), отримаємо при Ω = Ω3
m ≥ arch 
/arch Ω3 [Hп]; (21)
m ≥ arch 
/arch Ω3 [Дб]. (22)
Порівнюючи частотні характеристики фiльтрiв Баттерворта і Чебишева, можна побачити, що поліноми Чебишева є поліномами найкращого наближення.
Це означає, що при однакових значеннях m, фільтр Чебишева в смузі непропускання має більше затухання, ніж фільтр Баттерворта. Однак характеристика робочого затухання фільтра Баттерворта в смузі пропускання має монотонний характер і тому легше піддається коректуванню для усунення спотворень передаваних сигналів.
Вибір типу полiномiнальних фільтрів визначається конкретними умовами їх застосування в радіотехнічних пристроях.
Для отримання передавальної функції фільтра Чебишева замінимо оператор j Ω на оператор р і перейдемо вiд функції | Н р(j Ω)|2 до функції
.
Ураховуючи (19), знайдемо полюси функції | Н р(р)|2, розв’язавши рівняння
E 2cos2(m· arccos(p / j)) + 1 = 0. (23)
p k=shγ sin 
, k = 1, 2, …, m,(24)
де 
.
З коренів у лівій напiвплощинi складаються множники типу (р - р к) і за ними будується передавальна функція фільтра Чебишева:
,
де 
.
