Тема1: Поняття проективного простору.
Мета: сформувати поняття проективного простору; з’ясувати суть його властивостей.
План
1. З історії виникнення проективної геометрії.
2. Поняття проективного простору.
3. Властивості проективного простору.
Ключові слова: п+1 вимірний векторний простір, n -вимірний проективний простір, вектор породжує точку, проективна площина, проективна пряма, трьохвимірний проективний простір.
(З історії виникнення проективної геометрії ---- див 2, ст.5-8, 341)
Поняття проективного простору
Vn+1 – n+1 вимірний векторний простір над полем R дійсних чисел.
V/ = Vn+1\{ 
} " Р≠Ø
Означення: Множина Р називається n-вимірним проективним простором, якщо визначено відображення f: V/→Р, яке задовольняє властивостям:
1) f – сюр’єктивне
2) 
Елементи множини Р називають точками. Запис 
читається: вектор 
породжує точку X. (будемо використовувати позначення 
)
Тоді друга властивість в означенні читається так: колінеарні вектори породжують одну і ту ж точку проективного простору
За означенням
V4/ породжує Р3 (3-х вимірний проективний простір)
V3/ породжує Р2 (проективну площину)
V2/ породжує Р1 (проективну пряму)
V1/ породжує Р0 (точк у)
Зауваження: Так як V4/ (V3/, V2/) містять нескінченну множину не колінеарних векторів, то проективний простір, проективна площина, проективна пряма містять нескінченну множину точок.
Властивості проективного простору
1. У 3-х вимірному проективному просторі існують 4 точки, які не лежать в одній площині. На проективній площині існують 3 точки, які не лежать на одній прямій.
● Р3 V4/, (
) — базис V4/
A, B, C, D
 | |||
 | |||
не можуть лежати в
одній площині Р2 V3/
Якщо припустити, що A,B,C,D є Р2
то є V3/
– л.з., що суперечить
Аналогічно: існують A,B,C Ï d
(самостійно)●
2. Через будь-які дві точки проходить одна і тільки одна пряма
● 
Дано: Точки A і B, А≠В
Відомо: А 
, В 
,
Розглянемо: (, ) – базис V2/ (1)
За означенням: V2/ AB – пряму
Доведемо, що AB= d — єдина пряма
Припустимо $ d/ ½ A, B Î d/
Нехай d/ W2/
З того, що A, B Î d/ Þ , є W2/ Þ (, ) базис W2/ (2)
(1), (2) Þ V2/= W2/
d = d/
AB єдина пряма, яка проходить через точки A і B ●
3. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна і тільки одна площина (Самостійно)
4. Якщо дві точки А і В лежать у площині Р2 то і пряма АВ лежить у цій площині (тобто кожна точка прямої АВ лежить у площині Р2)
● Нехай А і В є Р2 V3/
А 
(, ) базис V2/
А≠В, 
V2 
V3/
В 
є V3/
V2/ V3/
AB P2
 |
AB Ì P2
" M є AB Þ 
= λ +μ 1 Þ Î V2/ Ì V3/
M Î P2 ●
5. Будь-які дві прямі на проективній площині завжди перетинаються.
● P2 – проективна площина
d1, d2 P2
P2 V/3
V2/, W2/ Ì V3/ Правило
Vm, Wk Ì Vn Vm+Wk=Vn+ Vp
2+2=3+1 Vp-простір перерізу Vm, Wk
V1/ - простір перерізу просторів V2/ і W2/ у V3/
Векторний простір V1/ - це множина
колінеарних між собоюненульових векторів V1/ M0
Отже, d1 Ç d1 = M0 ●
6. Будь-які дві площини у трьохвимірному просторі завжди перетинаються
●
V3/, W3/ Ì V4/
3+3=4+2
Vπ/= V2 простір перерізу
Отже, P2 Ç P2/ = Р1 ●
7. Будь-яка площина і пряма, яка їй не належить, у трьохвимірному просторі завжди перетинаються (Самостійно)
Питання для самоперевірки.
1. Сформулювати означення n-вимірного проективного простору.
2. Як називаються елементи множини Р?
3. Як прочитати запис: 
?
4. Що,за означенням, породжують векторні простори 
?
5. Як можна сформулювати другу властивість в означенні проективного простору?
6. Сформулювати властивості проективного простору?
7. Чи є паралельні прямі на проективній площині?
8. Яку точку породжує нульовий вектор?
9. Яке співвідношення між розмірністю проективного простору і векторного, який його породжує?
10 Що можна сказати про взаємне розміщення двох проективних площин, прямої і площини у просторі?
