Канонические и параметрические уравнения прямой

Прямая на плоскости.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

	-расстояние между точками A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2);
	-координаты точки С (x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2), в отношении ;
	-координаты середины отрезка АВ;
	-условие принадлежности трёх точек (x 1 ,y 1), (x 2 ,y 2), (x3,y 3) одной прямой;
	- площадь треугольника с вершинами (x 1 ,y 1), (x2,y 2), (x 3 ,y 3).

Прямая на плоскости

Ax+By+C =0	- общее уравнение прямой;
A(x-x 0 )+B(y-y 0 )= 0	- уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) перпендикулярно нормальному вектору { A,B };
	- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору { l,m };
	- параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору ;
	- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x 1 ,y 1) и (x 2 ,y 2);
	- уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где - угол наклона прямой к оси ox;
	- уравнение прямой в отрезках, где (а, 0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy;
	- нормальное уравнение прямой, где р - расстояние от начала координат до прямой, a-угол между осью ox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат;
	- нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С;
	- расстояние от точки (x 0 ,y 0) до прямой Ax+By+C=0;
	- координаты точек пересечения двух прямых A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0;
	- координаты точек пересечения прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2;
	- условия параллельности прямых, заданных в общем виде A 1 x+B 1 y+ C1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 =0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2;
	- условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A 1 x + B 1 y + C 1=0, A 2 x + B 2 y + C 2=0 и в виде y=k 1 x+b 1, y=k2x+b 2;
	- угол между двумя прямыми, заданными в общем виде A 1 x+B 1 y+C 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 =0 и в виде y=k 1 x+b 1, y=k 2 x+b 2;
A 1 x+B 1 y+C 1+ + (A 2 x+B 2 y+C 2)=0	- уравнение пучка прямых через точку М, если A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М.

Простейшие задачи на плоскости

Расстояние между двумя точками

M ₁(x ₁, y ₁), M ₂(x ₂, y ₂)

.

 

Деление отрезка в данном отношении

Точка M (x,y) делит отрезок M ₁ M ₂ в отношении , если . Тогда а отсюда и координаты точки М находятся по формулам: .

Координаты середины отрезка С получаются при М ₁ М = ММ ₂, то есть :

Отметим, что число l не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М ₁ М ₂, так как при изменении направления на противоположное l не меняется.

Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой на плоскости xoy получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z = 0.

Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением

Ax+By+C =0.

Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси ox (оси oy). Если С =0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку (x ₀, y ₀) перпендикулярно вектору , ее уравнение принимает вид: .

Канонические и параметрические уравнения прямой

Если прямая проходит через точку (x ₀, y ₀) параллельно направляющему вектору , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде

и

где t – параметр, .