Формула полной вероятности

5.1. В первой урне находятся 6 белых и 4 черных шара; во второй – 2 белых и 7 черных. Из первой урны переложили во вторую два шара, а затем из второй урны извлекли два шара. Какова вероятность, что из второй урны извлечены белые шары?

5.2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность брака для первого станка 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Первый станок производит 100, второй – 200, третий – 300 деталей, которые складываются в один ящик. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь будет бракованной.

5.3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 %, третий – 0,4 %. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000, а с третьего – 2500 деталей.

5.4. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45 % общего количества ламп, второй – 40 %, третий – 15 %. Продукция первого завода содержит 79 % стандартных ламп, второго – 80 %, третьего – 81 %. В магазин поступает продукция с трех заводов. Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

5.5. Литье поступает из двух цехов: 70 % из первого, 30 % из второго. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, второго – 20 %. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка будет без дефектов.

5.6. Три самолета-штурмовика ведут стрельбу по наземной мишени, ориентируясь на команду "Огонь", подаваемую с командного пункта. Команда "Огонь" подается первому самолету в два раза чаще, чем второму и третьему по отдельности. Вероятности попадания в цель для 1-го, 2-го и 3-го самолетов равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что мишень окажется непораженной.

5.7. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча, а после нее возвращаются обратно. Затем и для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.

5.8. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятности и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров плохо занимался весь семестр и успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдаст экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

5.9. В спортивной секции десять стрелков: 3 стрелка первого разряда и 7 стрелков второго. Стрелок первого разряда по падает в цель с вероятностью 0,9. Стрелок второго разряда – с вероятностью 0,7. Наугад выбирают одного стрелка. Какова вероятность, что он попадет в цель?

5.10. Город разбит на три района. В первом районе обучаются 50 % учеников, 10 % школ этого района – школы с математическим уклоном. Во втором районе 15 % школ с математическим уклоном, в этом районе обучаются 30 % учеников. В третьем районе 5 % школ с математическим уклоном. В городе случайно выбран ученик. Какова вероятность, что он обучается в школе с математическим уклоном?

5.11. Площадь комнаты 20 м. В комнате на полу лежит ковер, площадь которого 5 м. Некоторый предмет два раза падает в место, выбранное наугад. При падении на ковёр он получает трещину с вероятностью р₁, а при падении на пол - с вероятностью р₂. Какова вероятность, что на предмете появится хотя бы одна трещина?

5.12. В ящике смешаны хорошие и ржавые гвозди, причём хорошие составляют 30 %. Хороший гвоздь гнётся при забивании в доску с вероятностью 5 %, а ржавый – с вероятностью 10 %. Из ящика наугад выбирают гвоздь и вбивают в доску. Какова вероятность, что он не согнётся?

5.13. У грибника есть три излюбленных места для сбора грибов. Из-за разной удаленности он посещает первое место с вероятностью 0,3, второе – с вероятностью 0,2, третье – с вероятностью 0,5. Обычно, в первом месте он находит грибы с вероятностью 0,4, во втором – с вероятностью 0,7, в третьем – с вероятностью 0,6. Какова вероятность, что грибник найдёт грибы?

5.14. Студенту необходимо взять книгу в библиотеке. Он планирует обойти одну за другой три библиотеки. В каждой из них нужная книга может присутствовать с вероятностью 0,25. Если она есть в каталоге, то с равной вероятностью может быть уже взята или стоять на полке. Найти вероятность для студента взять книгу.

 

Формула Байеса

6.1. Для участия в отборочных спортивных соревнованиях из первой группы курса выделены 4 студента, из второй – 6, из третьей – 5. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. Какова вероятность, что это студент из второй группы?

6.2. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар, после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

6.3. Вероятность для изделия некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная схема проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.

6.4. У рыбака есть три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью р1, на втором – с вероятностью р2, на третьем – с вероятностью р3. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом.

6.5. Сборщик получает 45 % деталей завода № 1, 30 % – завода № 2, 25 % – завода № 3. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества, 0,7, для деталей второго и третьего заводов эти вероятности равны 0,8 и 0,9. Наудачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом № 1.

6.6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

6.7. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

6.8. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К, 30 % – с заболеванием L, 20 % – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

6.9. Три пушки ведут стрельбу по танку. Команда открыть огонь подаётся первой пушке с вероятностью р₁, второй – с вероятностью р₂, третьей – с вероятностью р₃. Первая пушка поражает танк с вероятностью 0,7, вторая – с вероятностью 0,8, третья – с вероятностью 0,9. Команда была подана одной из трёх пушек, и танк был поражён. Какова вероятность, что стреляла первая пушка?

6.10. В группе спортсменов 30 лыжников и 45 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9, а для бегуна — 0,75. Выбранный наудачу спортсмен выполнил норму. Что вероятнее: он лыжник или бегун?

6.11. В команде двое стрелков стреляют из берданки и попадают по мишени в 80% случаев, остальные трое стреляют из обреза и попадают в 60% случаев. Наугад выбранный стрелок попал по мишени. Что вероятнее: он вооружён обрезом или берданкой?

6.12. В первой урне 20 белых шаров, во второй - 10 белых и 10 черных, в третьей - 20 черных. Из урны, выбранной наугад, был извлечен белый шар. Вычислить вероятность, что шар вынут из первой урны.

 

 

Повторные испытания

7.1. Вероятность выигрыша по облигации равна 0,25. Найти вероятность того, что некто, приобретая 8 облигаций, выиграет по 6 из них.

7.2. В мастерской 12 мастеров. Вероятность того, что мастер работает, равна 0,8. Найти вероятность того, что в заданный момент работают не менее 10 мастеров.

7.3. В магазин вошли n покупателей. Найти вероятность того, что к из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего равна р.

7.4. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Найти вероятность того, что в семье из 4-х детей будет один мальчик.

7.5. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность, что герб выпадет хотя бы один раз?

7.6. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет три раза.

7.7. Проведены 20 независимых испытаний, каждое из которых состоит в подбрасывании трёх монет. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадут три герба.

7.8. В некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце восьми дней три дня окажутся дождливыми?

7.9. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются).

7.10. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) три партии из четырех или пять из восьми?

7.11. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет: а) менее двух раз, б) не менее двух раз.

7.12. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность, что среди них не больше 2-х девочек.

7.13. Изделия некоторого производства содержат 5% <брака. Найти вероятность того, что среди пяти, взятых наугад, изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

7.14. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

7.15. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

7.16. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух пуль и более, если число выстрелов равно 5000.

7.17. Вероятность того, что любой абонент позвонит на станцию в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.

7.18. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

7.19. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

7.20. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий: a)ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

7.21. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: a) ровно две; б) менее двух; в)более двух; г)хотя бы одну (принять e^-3=0,04979).

7.22. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит: а) ровно 75 раз, б) ровно 85 раз?

7.23. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика 0,515.

7.24. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

7.25. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

7.26. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

7.27. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

7.28. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

7.29. Рабочий обслуживает 1000 машин. Вероятность поломки одной машины в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты сломаются пять машин.

7.30. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

7.31. Монета бросается 20 раз. Найти наивероятнейшее число появлений герба.

7.32. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появлений числа очков, кратного трем.

7.33. На факультете 731 студент. Вероятность рождения студента в данный день равна 1/365. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января, и вероятность того, что найдутся три студента с одним и тем же днем рождения.

7.34. В камере хранения ручного багажа 80% всей клади составляют чемоданы, которые вперемешку с другими вещами хранятся на стеллажах. Через окно выдачи были получены все вещи одного стеллажа в количестве 50 мест. Найти вероятность того, что среди выданных вещей было 38 чемоданов.