Раздел 1. Краткое изложение теоретического материала

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

 

Классическое определение вероятности , где п – общее количество всех возможных исходов опыта, а m – количество тех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующих событию А).

 

Элементы комбинаторики

1) если множество из l элементов перемешивается (элементы множества меняются местами), то речь идёт о перестановках, количество которых равно

2) если из множества l элементов берётся k элементов, то получаются:

а) сочетания, когда порядок следования элементов не важен, общее количество которых равно ;

б) размещения, когда порядок следования элементов важен, общее количество которых равно .

 

Алгебра событий

1) А или В

 

 

А и В несовместны, тогда

Если попарно несовместны (т.е. ), то

2) А и В (одновременно) , где – условная вероятность события В при условии, что событие А произошло.

Если , то А и В – независимые события.

Если попарно независимы, то

3) не А (противоположное событию А)

Полная вероятность

 

Если эксперимент состоит из нескольких этапов, требуется найти вероятность события, произошедшего на последнем этапе, а о результатах промежуточных этапов мы можем строить лишь предположения (гипотезы), то пользуются формулой полной вероятности:

,

где – полная группа гипотез: 1) ;

2)

Если событие на последнем этапе представлено как свершившийся факт, а требуется найти вероятность того, что вместе с событием А осуществилась одна из гипотез , то пользуются формулой Байеса:

,

где – полная вероятность события А.

 

Схема Бернулли (схема повторных независимых испытаний)

Если один и тот же эксперимент в одних и тех же условиях проводится п раз (несколько раз), причём результаты испытаний не зависят друг от друга, то мы находимся в рамках схемы Бернулли.

Пусть А – случайное событие, происходящее при одном испытании, , .

1) Если требуется найти вероятность того, что в п испытаниях событие А произошло ровно m раз (говорят: «произошло m успехов»), то применяют:

а) Формулу Бернулли , единственную формулу, дающую точный ответ.

Для больших п применяют предельные теоремы, дающие ответ приближенно:

б) Локальную теорему Муавра-Лапласа , где – функция Гаусса (значения по таблице), .

в) Теорему Пуассона , где – порядка единиц ().

2) Если требуется найти вероятность того, что в п испытаниях событие А произошло от до раз, то применяют интегральную теорему Муавра-Лапласа , где – интеграл Лапласа (значения по таблице), , .

3) – наивероятнейшее количество наступлений события А в п испытаниях вычисляется из формулы: , где может быть одним целым числом, в случае, если концы интервала дробные (единственное целое число на интервале длиной единица), и двумя целыми числами, если концы интервала целые.

 

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Случайной величиной называется функция, определённая на пространстве элементарных событий , которая ставит в соответствие каждому элементарному событию из некоторое действительное число (любое, следующее из условия задачи) .

Случайные величины (с.в.) делятся на дискретные и непрерывные. И те и другие обладают функцией распределения: функцией, определённой на всей числовой оси R, значения которой равны вероятности того, что случайная величина примет значения, строго меньшие аргумента функции

.

 

Свойства функции распределения:

1. ; 2. ; 3. , ; 4. (непрерывность слева);

;   .

 

Числовые характеристики случайных величин

С.в. обладают: математическим ожиданием (математическим средним), демонстрирующим, какое в среднем значение должна принять случайная величина (зависящее от возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей); дисперсией , показывающей степень рассеянности значений случайной величины от её математического ожидания (дисперсия равна мат.ожиданию квадрата отклонения значения случайной величины от её математического ожидания ), вычислительная формула – , а также среднеквадратическим отклонением , показывающим то же, что и дисперсия, но в других единицах.

 

Свойства математических ожиданий и дисперсий

 

, , , где С=const.

 

, – верно для независимых Х и Y.

 

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

(принимающие конкретные значения)

обладают законом (рядом) распределения – таблицей из двух строк: в верхней отражаются упорядоченные по возрастанию значения случайной величины, в нижней – вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения.

Х			…
Р			…

 

где .

Функция распределения для этих величин кусочно-непрерывная, график её представляет собой участки прямых параллельных оси Ох, образующих ступени, поднимающиеся от 0 до 1.

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле: ,

 

а её дисперсия: .

 

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

(принимающие значения на интервале, например временном промежутке)

обладают плотностью распределения (вместо закона распределения у дискретных с.в.), которая является некоторой неотрицательной функцией, определённой на всей числовой прямой, обладающей свойством .

 

Связь с функцией распределения: , а .

Функция распределения непрерывных с.в. непрерывна.

 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле: , а её дисперсия: .

 

 

СТАНДАРТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Для дискретных случайных величин:

1. Биномиальное распределение – когда вероятности в законе распределения находятся по формуле Бернулли :

, .

 

2. Распределение Пуассона – когда вероятности в законе распределения находятся по теореме Пуассона , где :

, .

 

3. Геометрическое распределение – когда вероятности в законе распределения находятся по формуле :

, .

 

Для непрерывных случайных величин:

4. Равномерное распределение на промежутке (с параметрами a и b):

, , ,

 

, .

 

5. Показательное распределение с параметром :

, , , ,

 

.

 

6. Нормальное распределение с параметрами а и :

, ,

 

, ,

 

, ,

 

Правило трёх сигм: .