ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Лекция 22 Методы вычисления неопределенного интеграла
План лекции
Методы интегрирования. Интегрирование простейших и рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций и некоторых иррациональных выражений.
Мы с вами узнали, что такое неопределенный интеграл - это совокупность первообразных заданной функции, т. е. множество функций, задаваемых, как мы выяснили, формулой 
. Как вычислить (взять) неопределенный интеграл? Для этого мы должны знать таблицу первообразных и правила интегрирования. Формально этих знаний достаточно для умения вычислять интегралы. Но надо понимать, что нет железобетонных (как для вычисления производных) правил (алгоритмов) для нахождения первообразных. Поэтому умение интегрировать сводится к знанию тех случаев, кода существует четкий алгоритм нахождения первообразной.
Простейшие методы интегрирования
Первый (простейший) уровень знаний и умений связан с умением вычислять такие неопределенные интегралы, в которых вычисление сводится к применению линейных свойств (первообразная от линейной комбинации функций равен линейной комбинации соответствующих первообразных) и таблицы первообразных.
Пример 1. Вычислите неопределенный интеграл 
.
Решение. Первообразная от линейной комбинации функций 
равна такой же линейной комбинации соответствующих первообразных 
. Следовательно, 
.
Метод интегрирования по частям
Посмотрим, как можно применить формулу 
интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Наиболее естественно применить эту формулу можно в том случае, когда подынтегральную функцию 
в неопределенном интеграле 
можно представить в виде произведения двух множителей. В правой части формулы первый множитель произведения переходит в свою производную, а второй множитель – в свою первообразную. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле применяют, прежде всего, в тех случаях, когда новый интеграл в правой части формулы проще первоначального интеграла в левой части. (Хотя бывают и всякие «хитрые» случаи.) Кстати, формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле можно записать в виде 
.
Пример 2. Вычислите неопределенный интеграл 
.
Решение. Введем обозначения 
, 
, тогда 
, 
и заданный интеграл преобразуется к виду 
, после чего мы приходим к ответу 
.
Пример 3. Вычислите неопределенный интеграл 
.
Решение. При каждом интегрировании по частям степень будет снижаться на 1, поэтому придется дважды применять формулу интегрирования по частям. Итак, 
.
Пример 4. Вычислите неопределенный интеграл 
.
Решение. Несмотря на то, что подынтегральная функция состоит из одного множителя, мы применим метод интегрирования по частям, считая, что вторым множителем является 1. Итак, 
Пример 5. Вычислите неопределенный интеграл 
.
Решение. При двукратном интегрировании по частям интеграл переходит в пропорциональный заданному. Тем самым мы получим линейное уравнение для нахождения искомой первообразной. Итак, 
.
Если 
- одна из первообразных функции 
, то тем самым справедливо равенство 
, откуда 
и 
.
