Рассмотрим метод решения задач оптимального управления при отсутствии ограничений на фазовые координаты. Система (9.75) называется автономной, если в ее правую часть явно не входит время t.
Пусть в фазовом пространстве Х заданы две точки x 0 = (
) и x 1 = (
). Если начальное и конечное положения изображающей точки в фазовом пространстве определены по всем n координатам, то задачу об оптимальном управлении называют задачей с закрепленными концами.
Рассмотрим следующую задачу. Требуется среди допустимых управлений u (t), t 0 ≤ t ≤ t 1, т.е. кусочно-непрерывных вектор-функций u (t) 
U (моменты t 0 и t 1 не фиксированы), переводящих фазовую точку системы (9.75) из заданного начального положения x 0 (x( t 0 ) = x 0) в заданное конечное положение x 1 (x( t 1 ) = x 1), найти управление и траекторию при ограничениях вида (9.76) или (9.77), минимизируя при этом функционал
i = 1: n, j = 1: m.
Управление u (t)итраектория х (t), решающие поставленную задачу, называются оптимальными.
Особое внимание уделяется частному случаю, когда f 0 = 1. В этом случае функционал
задает время движения. Управление и траектория, минимизирующие функционал, называются оптимальными по быстродействию.
Уравнения Эйлера (9.10) представляют собой систему n уравнений второго порядка. Такую систему всегда можно свести к системе 2 n уравнений первого порядка. Наиболее удобны уравнения Эйлера в так называемой форме Гамильтона.
Введем новые переменные
(9.80)
и функцию
, (9.81)
где ψ i – канонические переменные, H – функция Гамильтона.
Из выражения (9.81) следует, что
, i = 1: n (9.82)
Уравнения Эйлера (9.10) перепишутся в виде
, i = 1: n. (9.83)
Из выражения (9.81) также следует
, i = 1: n. (9.84)
Объединяя уравнения (9.83), (9.84) получаем так называемую Гамильтонову форму уравнений Эйлера (2 n уравнений Эйлера-Гамильтона)
(9.85)
Пример 9.8. Рассмотрим двигатель КПДН-3-V с независимой обмоткой возбуждения. Мощность двигателя — 8,5 кВт; номинальная скорость вращения — 1300 об/мин= 21,6 об/с,маховой момент двигателя CD2 равен 1 кГ∙м2;номинальный ток — 45 А;допустимая кратность тока 3,6; допустимая скорость вращения — 1560 об/мин,т. е. 1,2 от номинальной скорости. Двигатель через редуктор приводит во вращение исполнительный механизм, причем для отработки полного цикла перемещения двигатель должен повернуться на 130 радиан.
Решение. С учетом момента инерции исполнительного механизма механическая постоянная времени электропривода Т м= 0,7 с, следовательно, единицей угла перемещения будет
α0 = 2π·21,6·0,7 = 95 рад,
таким образом, заданный для отработки в течение цикла угол перемещения будет равен:
α = 130/95 = 1,35.
Цикл перемещения должен занимать 2 с, число циклов — 1000 в час, т. е. 2 с продолжается работа двигателя и 1,6 с — пауза. Момент сопротивления, приведенный к валу двигателя, Мс= 3,2 кГ∙м,в то время как номинальный момент двигателя
Мн= 975·8,5/1300 = 6,4 кГ∙м,
т.е. µ0 = 0,5. Требуется определить, способен ли выбранный двигатель обеспечить заданный темп работы и каковы параметры оптимальной диаграммы тока.
Вычисляем Т:
Т = 2/0,7 = 2,86;
в то время как допустимая величина для Q (принимая условия охлаждения во время работы и во время паузы одинаковыми)
Q доп= 3,6/2 = 1,8.
Следовательно, выбранный нами двигатель при оптимальном законе управления удовлетворяет ограничениям по нагреву, тогда как при законе управления ί — const мы имели бы
т. е. нагрев двигателя превысит допустимый, и потребуется установка более мощного двигателя.
Произведем проверку оптимального закона на величину максимального тока и максимальной скорости в режиме оптимального управления.
Имеем:
следовательно, максимальный ток якоря в начале цикла будет составлять i 0 + µ0 = 1,5, т. е. будет меньше допустимого. Максимальная скорость вращения
т. е. также меньше допустимой.
Изменим условия. Пусть тот же двигатель должен за 2 сотработать перемещение 238 рад,т. е. α = 2,5.
В этом случае в режиме оптимального управления имеем:
Однако
что превышает допустимую скорость. Следовательно, необходимо перейти на режим управления с участком постоянной скорости. Параметры оптимальной диаграммы определяем по формулам:
Таким образом, максимальный ток i max= i 0+ µ0= 2,57, что допустимо. Окончательно, при оптимальном управлении Q = 4,04, т. е. длительность паузы должна составлять 3,04 от длительности работы и допустимое число включений в час
Пример 9.9. Рассмотрим двигатель, разгоняющий механизм, который имеет большой маховой момент, равный 12,08 ∙ 104 кГ∙м2;момент сопротивления механизма— 244 кГ∙м,скорость вращения — 600 об/мин.
Так как наименьшие тепловые потери будут в том случае, когда момент двигателя, разгоняющего механизм, будет равен удвоенному моменту сопротивления, выберем двигатель с моментом Μ = 488 кГ∙м,что при двукратной перегрузочной способности будет соответствовать номинальному моменту Мн= 244 кГ∙ми номинальной мощности
и, следовательно, время разгона исполнительного механизма от нуля до номинальной скорости будет равно 790 с или 13,2 мин (в данном случае время разгона равно механической постоянной времени, т.е. Т = 1).
Определим величину перегрева двигателя в конце цикла разгона. Для двигателя мощностью 150 кВтпостоянная времени нагрева составляет 45 мин,т. е. n = 13,2/45 = 0,294. Следовательно, в конце разгона перегрев обмоток
т. е. будет на 2,4% превосходить нормальный перегрев обмоток в длительном режиме при номинальном токе. Такой перегрев является вполне допустимым.
Так как в данном случае ввиду очень большой величины маховых масс процесс разгона протекает медленно и множитель е-nτ уже заметно отличается от единицы, то при выборе закона управления имеет смысл учитывать теплоотдачу. Оптимальная диаграмма тока будет иметь вид:
Задавшись условием, что в конце цикла разгона перегрев обмоток должен быть равен номинальному, получим два уравнения для определения Т и i 0:
Решив систему, получим: Т = 0,82; i 0 = 2,45. Следовательно, ток якоря в начале разгона равен 2,45 от номинального, а в конце разгона 1,92 от номинального; время разгона будет 0,82·3,2 = 10,8 мин, или на 18% меньше, чем при прямоугольной диаграмме тока.
