Задача 88. Установить закон изменения концентрации утяжелителя в суспензии по времени при постоянном его добавлении в суспензию.

▲ Если количество утяжелителя в суспензии q, а его концен­трация — q / V = ξ, где V — объем распространения в суспензии, то вводи­мый утяжелитель определяется в количестве, пропорциональном его наличному содержанию в суспензии. С другой стороны, концентрация утяжелителя повышается в результате постоянного его добавления.

В итоге этих двух взаимосвязанных процессов находим, что изменение концентрации утяжелителя в суспензии по времени можно описать следующим дифференциальным уравнением

(1)

где k — постоянная скорость добавления, ρ — количество добавляемого утяжелителя, мг/мин.

Если утяжелитель не прибавляется, то ρ = 0 и уравнение (1) сводится к равенству

тогда как при отсутствии вливания k = Q и уравнение (1) примет вид

Представляя уравнение (1) в виде

(2)

замечаем, что уравнение (2) представляет собой неоднородное линейное уравнение, решить которое можно, используя либо метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной), либо метод Бернулли. Рассмотрим метод Лагранжа. Для этого составим для уравнения (2) соответствующее однородное уравнение

И найдем его решение, разделив в нем переменные

Будем варьировать постоянную С, т.е. представим ее как функцию t, С=С(t). Тогда решение неоднородного уравнения (2) можно представить в виде

(3)

Вычислим от (3) производную по (t) и подставим ее, а также функцию (3) в уравнение (2)

Подставив найденную функцию С=С(t) в решение (3), получим окончательный вид решения уравнения (2)

(4)

Используя начальные условия, по которым при t =0 ξ = 0, получим

.

Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

или

.

 

Задача 94. Капля с начальной массой М г, свободно падая в воздухе, равномерно испаряется и ежесекундно теряет т г. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения капли. Найти зависимость скорости движения капли от времени, прошед­шего с начала падения капли, если в начальный момент времени скорость капли равна нулю. Принять, что коэффициент пропорцио­нальности k≠m.

▲ Ввиду равномерного испарения капли ее масса в момент t равна М — mt, а сила тяжести капли — (М — mt)g, где g — ускорение силы тяжести. Силу тяжести считаем положительной, т. е. направленной вниз.

По условию сила сопротивления воздуха (знак минус, так как она направлена вверх). Равнодействующая всех сил, при­ложенных к капле,

а так как по второму закону Ньютона

то дифференциальное уравнение задачи

или

(1)

Это линейное неоднородное уравнение будем решать методом Бернулли, для этого решение уравнения (1) будем искать в виде

v = uw, (2)

в котором u и w новые неизвестные функции t. Для их нахождения вычислим от этой функции производную

,

и подставим ее и функцию (2) в уравнение (1)

. (3)

Уравнение (3) представляет собой уравнение, содержащее две неизвестные функции, поэтому для нахождения неизвестных функций разобьем уравнение (3) на два. Первое уравнение будет представлять собой сумму первого и третьего слагаемых приравненных нулю

, (4)

А второе уравнение представляет собой уравнение после вычитания уравнения (4) из уравнения (3)

. (5)

Так, как мы нас интересует не тривиальное решение уравнения (1), то будем считать, что функции u и w отличны от нуля. Из этого следует, что уравнение (4) можно разделить на w

,

Полученное уравнение является линейным однородным уравнением относительно неизвестной функции u, разделив переменные в котором и проинтегрировав его, получим

,

(6)

Одну неизвестную функцию мы нашли. Подставив (6) в уравнение (5), приравняв значение С единице, С = 1(поскольку для нахождения функции w нам достаточно одного значения функции u), найдем функцию w

.

(7)

Подставив функции (6) и (7) в решение (2), получим окончательный вид решения уравнения (1)

или

(8)

Для нахождения произвольной постоянной С ₁, удовлетворим в решении (8) начальным условиям, которые вытекают из условия, что в начальный момент времени при t = 0, скорость движения капли тоже равна нулю v = 0

Подставим найденную произвольной постоянной в решение (8) получим окончательный вид закона движения капли

Или

.▲