Пример. Подвергая 10 кг соли действию 90 л воды, обнару­жили, что в течение часа растворилась половина этого количества.

Пример. Кусок горной массы массой m сбрасывается вниз по рудоспуску. Найти закон изменения скорости падения v этого куска, если на него действует сила тяжести и тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости.

▲ Задача заключается в определении закона изменения скорости v с течением времени t, т.е. v = f(t).

Запишем второй закон Ньютона

где - ускорение движущегося куска, F – сила действующая на этот кусок в направлении движения.

Сила F складывается из двух сил: силы тяжести F ₁ = mg направленной вниз и силы сопротивления воздуха F ₂ = - kv направленной вверх.

Таким образом, уравнение движения куска будет иметь вид

В этом дифференциальном уравнении разделив переменные, получим

(1)

Интегрируя уравнение (1) найдем

(2)

Разрешим (2) относительно v

(3)

Обозначив , придем к уравнению

(4)

Если известна начальная скорость падения куска, то можно вычислить значение произвольной постоянной С. Пусть заданы начальные условия: скорость движения куска в начальный момент времени t = 0 равна v ₀, тогда

(5)

Подставляя (5) в решение (4) окончательно получим вид искомой функции

. ▲

 

Пример. Конвейерная лента огибает барабан радиуса r и нагружена силами F ₀ и F ₁, так, что (рис.). Благодаря трению между барабаном и лентой даже значительно меньшая сила F ₀ может уравновешиваться большей силой F ₁. Необходимо найти наибольшую силу F ₁, которая может уравновешиваться силой F ₀, если коэффициент трения равен μ.

▲ Рассмотрим рис.

 

 

Рис.

 

Пример 16. Рассмотрим вентиляцию забоя объемом V(м3), в котором в процессе проведения работ накапливаются вредные газообразные выделения в количестве Z в час. Пусть обмен воздуха в течении 1 часа составляет М (м3/ч), причем приточный воздух содержит вредные вещества в концентрации m на 1 м3. Требуется найти концентрацию Z (на 1 м3) вредных выделений в забое через время t после начала работы, если начальное значение этой концентрации (остаток загрязнений от предыдущей смены) составляет Z0.

▲ За малый промежуток времени dt концентрация вредных выделений Z увеличивается на dZ. Следовательно общее количество выделений составит VdZ и оно будет состоять из выделений, принесенных приточным воздухом - mМdt, и выделений образовавшихся в процессе работы - Zdt за вычетом количества вредных выделений, которое содержалось в извлеченном из забоя за время dt воздухе. Предположим, что за малый промежуток времени dt изменение концентрации вредных выделений равно – ZМdt. Следовательно, уравнение вентиляции забоя имеет вид:

или

Полученное уравнение является линейным неоднородным уравнением, которое будем решать, используя сразу формулу общего решения (1.51):

или

.

Удовлетворяя начальному условию , определим значение произвольной постоянной . Таким образом, окончательное решение исходной задачи имеет вид:

.▲

 

Пример. Определить уравнение кривой, по которой распола­гается уровень грунтовых вод вблизи скважины, простираю­щейся до непроницаемого слоя (рис.).

Рис.

▲ Пусть АВ — поверхность земли; CD — поверх­ность грунтовых вод до устройства колодца; EF — водонепроницае­мый слой, ограничивающий снизу поток грунтовых вод.

Если высота воды в скважине поддерживается откачкой на постоянном уровне GH, то поверхность грунтовых вод вблизи от колодца понижается определенным образом.

Линия поверхности грунтовых вод CD переходит в две искрив­ленные ветки C'G и D'H, которые замыкаются на уровне воды GH. Поверхность уровня грунтовых вод представляет собой поверхность вращения вокруг оси Оу меридиональной линии GC' или HD'.

Кривая HD' определяется на основании эмпирического прави­ла, по которому скорость v течения воды в точке Р пропускающего (дренирующего) грунта пропорциональна наклону кривой в точ­ке М', лежащей на вертикали точки Р.

Обозначая коэффициент пропорциональности через k, получим выражение скорости:

.

Через боковую поверхность цилиндра радиально внутрь протекает количество воды, определяемое дифференциальным уравнением

, (1)

которое для всего цилиндра радиуса х равно расходу воды в скважине.

Разделим переменные в дифференциальном уравнении (1):

,

Интегрируя, получим

(2)

Постоянную интегрирования находим из условия, что кривая поверхности D'H переходит в поверхность скважины GH.

Если диаметр скважины 2 r, а глубина воды в ней h, то при x=r y=h, т.е.

или

(3)

Постоянную интегрирования (3) вводим в уравнение (2) и получаем уравнение искомой кривой

или

. ▲

Пример. Через сосуд емкостью а л, наполненный водным раствором некоторой соли, непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени втекает b л воды и вытекает такое же количество раствора. Найти закон изменения содержания соли в сосуде в зави­симости от времени протекания жидкости через сосуд.

▲ В данный момент времени t в сосуде содержится х кг соли, следовательно, в каждом литре раствора содержится x/a кг соли, а в b литрах bx/a кг.

Если бы в течение единицы времени, начиная с момента t, концентрация раствора оставалась неизменной, какой она была в мо­мент t, то количество соли в сосуде за эту единицу времени уменьшилось бы на bx/a кг; такова скорость уменьшения количества соли сосуде для момента t.

С другой стороны, производная

равна скорости прироста количества соли в момент t, поэтому ско­рость уменьшения количества соли в момент t равна — .

Итак,

Разделяя переменные, получим

откуда

Потенцируя, найдем

(1)

где C — произвольная постоянная.

Предположим, что в некоторый начальный момент t= 0коли­чество соли в сосуде равно A кг.

Полагая в равенстве (1) t = 0, найдем

C = A.

Искомый закон изменения содержания соли

.▲

РАСТВОРЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Пусть при постоянной температуре скорость растворения твер­дого тела в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться до полного насыщения жидкости.

Пусть Р — количество вещества, дающее насыщенный раствор; х — количество растворившегося вещества.

Тогда дифференциальное уравнение процесса

 

где k — эмпирический коэффициент пропорциональности, t — время. Разделяя переменные и интегрируя, находим

(1)

Начальное условие: при t = 0 х = 0, откуда

и постоянная интегрирования

C = -P (2)

Подставляем выражение (2) в общее решение (1) и получаем закон зависимости количества растворившегося вещества от вре­мени:

Задача 54. Резервуар наполнен 75 л суспензии, содержащего 3 кг растворенного реагента. Приток воды составляет 4 л в минуту, а рас­ход смеси из сосуда 2 л в минуту. Концентрация поддерживается равномерной посредством перемешивания (рис.). Найти количе­ство реагента, которое будет содержаться в резервуаре через 25 мин.

 

Рис.

 

 

▲ Пусть х — количество реагента в резервуаре в мо­мент t, кг; t — время, отсчитываемое от начального момента t₀, мин; —dx — количество реагента, выходящее из резервуара за время dt (знак минус обусловлен тем, что х — убывающая функция вре­мени), кг.

К моменту t в резервуар поступило 4 t л воды и вышло 2 t л суспензии. Увеличение суспензии составляет 2 t л.

Таким образом, общее количество жидкости достигло 75+2 t л и в ней растворилось х кг реагента.

За время dt уходит – dx кг реагента и 2 dt л суспензии.

Считая концентрацию суспензии постоянной, получим количество реагента в одном литре кг. Следовательно, за короткий промежуток времени dt количество реагента уменьшится на кг.

Итак, элементарное уравнение движения жидкости будет иметь вид

Разделяя переменные в этом уравнении, имеем:

.

Интегрируя это уравнение, с учетом того, что в начальный момент времени t ₀ = 0 в резервуаре было 3 кг реагента (х ₀ = 3 кг), а через 25 мин, т.е. в момент времени t ₁= 25 сек, его стало х ₁ = х кг, получим

или

Потенцируя полученное выражение, получаем

,

или искомое количество реагента в резервуаре будет равно

кг. ▲

 

Пример. Подвергая 10 кг соли действию 90 л воды, обнару­жили, что в течение часа растворилась половина этого количества.