которую будем называть соответствующей уравнению (1).
Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая
Теорема 1. Левая часть любого I-го интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает I-й интеграл системы (2).
Пусть
совокупность 
независимых I интегралов системы (2).
В пространстве с координатами 
эта система интегралов определяет - параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.
Вдоль любой интегральной кривой системы (2) имеем
. (3)
Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы 
пропорциональны функциям 
, следовательно, в силу однородности относительно левой части тождеств
дифференциалы могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)
. (4)
Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения независимых переменных (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных 
и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (4) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция 
является решением исходного уравнения
. (1)
Обратно, пусть некоторая функция 
обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):
.
Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2) и пропорциональны, то
,
а, следовательно, 
вдоль интегральной кривой, а это и значит (в силу теоремы единственности), что 
есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.
Теорема 2. 
, где 
– произвольная дифференцируемая функция, 
- независимые I-е интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.
Пусть есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция такая, что 
. Так как 
являются решениями уравнения (1), то
(5)
Эта система в каждой точке x 
,…, x 
рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к. 
по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель
тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями имеется функциональная зависимость
. (6)
В силу независимости I-х интегралов 
системы (2) по крайней мере один из миноров порядка якобиана
вида
отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде
.
Ч.т.д.
Пример.
Проинтегрировать уравнение
.
Система уравнений характеристик
имеет следующие независимые первые интегралы
.
Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид
и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.
6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
6.1. Уравнения 
- го порядка, разрешаемые в квадратурах.
I. Уравнение вида
(1)
интегрируется в квадратурах:
,
,…
………………………………………………………………….
. (2)
Формула (2) дает общее решение уравнения (1). Преобразуем первый член в формуле (2) справа. При 
он имеет вид
.
Воспользуемся формулой Дирихле
. (3)
Пусть теперь 
:
.
Внутренний двойной интеграл заменим по формуле (3)
.
Теперь снова воспользуемся формулой Дирихле
.
Пусть для справедлива формула
.
Тогда получаем
.
Итак, окончательно имеем для любого натурального :
. (4)
Это формула Коши. Формула (4) дает частное решение уравнения (1), удовлетворяющее нулевым начальным данным
,
а в совокупности с (2) имеем общее решение.
Если дано уравнение вида
, (5)
то, разрешив его относительно 
, получим уравнение вида (1), но иногда это уравнение лишь позволяет выразить 
и как функции некоторого параметра 
. Пусть эти параметрические уравнения имеют вид
. (6)
По определению
,
т.е. с учетом (6)
,
откуда
,
далее
и т.д. В результате получим
.
Исключив из последних соотношений , получим общий интеграл уравнения (5).
Замечание. Рассматривая (6) как замену переменных, можно воспользоваться формулой Коши (4):
, (7)
где 
соответствует 
, а 
соответствует 
. Вместо 
в (7) подставлено 
.
Пример.
.
Полагаем 
, тогда 
. Отсюда
,
т.е.
,
,
,
или
.
Эта формула вместе с формулой дает параметрическое представление общего решения уравнения.
II. Уравнение вида
(8)
также приводится к квадратурам.
Пусть сначала уравнение (8) разрешено относительно 
, т.е.
. (8а)
Полагая 
, имеем
.
Отсюда получаем
.
Пусть это соотношение разрешено относительно 
, т.е.
,
тогда
.
В соответствии с предыдущим
.
Если же уравнение (8) неразрешимо в явном виде, но можно ввести параметр , так, что
, (8б)
то тогда имеем 
, или 
, т.е. 
, откуда для получаем
.
Далее, последовательно
,
,
и, наконец,
.
III. Уравнение вида
(9)
сводится к предыдущим случаям.
Положим 
, тогда имеем
. (10)
Если уравнение (10) разрешено относительно 
:
, (10а)
то перепишем его в виде
,
т.е.
,
откуда
.
Теперь
.
Откуда общий интеграл уравнения (10а):
.
Т.к. , то полученное выражение принимает вид
,
а это – уравнение вида (5), т.е. оно интегрируется.
Если же уравнение (9) приводится к виду
, (9а)
то действуем следующим образом:
.
Исключая 
, получим
.
Откуда в силу (9а):
,
т.е.
,
т.е.
.
Имея параметрические представления 
, мы свели задачу к виду (8б).
6.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
I. Уравнение вида
(11)
заменой 
приводится к виду
(11а)
порядка 
. Уравнение решается в квадратурах (см. выше).
II. Уравнение вида
. (12)
Здесь полагают: 
, за независимую переменную принимают 
. Тогда
,
.
Легко доказать методом полной индукции, что 
выражается через 
. Подставляя выражения для 
в новых переменных в уравнение (12), получим новое дифференциальное уравнение - го порядка
,
т.е. порядок уравнения понижен на единицу.
6.2.1. Понижение порядка в однородных уравнениях.
I. Рассмотрим уравнение вида
, (13)
в котором 
- однородная функция от 
, т.е.
(14)
для любого , 
- порядок однородности.
Из (14) следует, что если 
- решение уравнения (13), то и 
- также является решением уравнения (13).
Введем новую неизвестную функцию при помощи соотношения
. (15)
Тогда
и вообще 
выражается в виде произведения 
на выражение, содержащее и его производные до 
- го порядка. Подставим эти выражения в (13) и учтем (14):
.
Отбрасывая множитель 
, получим уравнение порядка :
.
Найдя , будем иметь
.
Пример.
-
однородное уравнение II-го порядка. Подставляя , получим:
,
т.е. 
- линейное уравнение. Его решение, например, методом Даламбера
,
откуда
.
II. Уравнения, однородные относительно 
.
Запишем уравнение (13) в следующем виде
. (16)
Это однородное уравнение, если
(17)
Это уравнение не изменится, если заменить на 
, а на 
, где 
- постоянная. Введем новые переменные при помощи соотношений
.
Тогда
.
Далее,
,
,…
Итак, мы имеем
,
,… (18)
(при этом 
взяты в предположении, что независимая переменная есть , а 
- в предположении, что независимая переменная есть 
).
Подставим (18) в (16), воспользуемся (17) и сократим на 
, тогда получим
.
Мы получили уравнение - го порядка, которое явно не содержит независимую переменную . Замена 
позволяет понизить его порядок на единицу.
III. Уравнения, левая часть которых является точной производной.
Пусть в уравнении (13)
,
т.е.
, (19)
тогда каждое решение уравнения (13) является решением дифференциаль-ного уравнения
и обратно. Таким образом, соотношение (19) является первым интегралом уравнения (13), т.е его порядок понижен на единицу.
Пример.
.
Разделим обе части уравнения на 
:
.
Первый интеграл:
,
т.е.
.
Здесь снова, интегрируя, получим
,
т.е. 
.
Список литературы
[1] В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953г.
[2] А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.
[3] Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965 г.
[4] Р.Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1978г.
[5] Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва-Ижевск: РХД, 2001г.
[6] В.Ф.Филиппов. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1990г.
[7] Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. Т.2. М.:Наука, 1995 г.
[8] А.Г.Кюркчан, Н.И.Смирнова. Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.1. М.: МТУСИ, 2007, Ч.2. М.: МТУСИ, 2010.
План УМД 2010-2011 уч. г., п.
Александр Гаврилович Кюркчан
Надежда Ивановна Смирнова
