2) Если 
, то возможны два случая:
1. Общее решение имеет вид 
– все точки являются точками покоя, т.е. все решения устойчивы.
2. Общее решение имеет вид
,
где 
– линейные комбинации постоянных 
и 
. Точка покоя 
неустойчива.
Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек. Действительно, в рассматриваемом случае система (1), в которой 
путем исключения 
могла быть сведена к уравнению
(2)
Интегральные кривые которого совпадают с траекториями движения системы (1). При этом точка покоя 
системы (1) является особой точкой уравнения (2).
Если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть (случаи а)1); б)1); в)1)), то точка покоя асимптотически устойчива.
Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть (случаи а)2); а)3); б)2); в)2)), то точка покоя неустойчива.
1.3. Однородная система 
линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Для системы n линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(3)
проведенный в предыдущей лекции анализ переносится почти без изменений.
Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (3) отрицательны, то тривиальное решение 
асимптотически устойчиво.
В самом деле, частные решения, соответствующие некоторому корню 
характеристического уравнения, имеют вид
если 
, и
если 
, и, наконец, в случае кратных корней – решения того же вида, но ещё умноженные на некоторые многочлены 
. Очевидно, что все решения такого вида при 
или 
(если ) стремятся к нулю при 
не медленнее, чем 
, где 
– постоянный множитель, а 
и больше наибольшей действительной части корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой 
- окрестности начала координат, попадают в сколь угодно малую 
- окрестность начала координат, а при – неограниченно приближаются к началу координат, т.е. точка покоя 
асимптотически устойчива.
Если же хотя бы для одного корня характеристического уравнения 
, то соответствующее этому корню решение вида 
или в случае комплексного 
– его действительная (или мнимая) часть 
при сколь угодно малых по модулю неограниченно возрастает по модулю при , т.е. точки, расположенные в начальный момент в - окрестности начала координат при возрастании покидают любую заданную - окрестность начала координат, т.е. в этом случае точка покоя 
системы (3) неустойчива.
2. Теоремы Ляпунова об устойчивости.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
(4)
Теорема 1. Если существует дифференцируемая функция 
, называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям:
1) 
, причем 
лишь при 
, т.е. функция 
имеет строгий минимум в начале координат (положительно определенная функция).
2) 
при 
, то точка покоя 
устойчива.
Производная в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, т.е. в предположении, что аргументы 
функции заменены решением 
системы (4).
При этом
Доказательство. В окрестности начала координат как в окрестности точки строгого минимума поверхности уровня 
являются замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума – 
начало координат. Зададим 
. При достаточно малом 
поверхность уровня 
целиком лежит в – окрестности начала координат (точнее, по крайней мере одна замкнутая компонента поверхности лежит в - окрестности начала координат), но не проходит через него, следовательно, можно выбрать такое 
, что - окрестность начала координат целиком лежит внутри поверхности , причем в этой окрестности 
. Если начальная точка с координатами 
выбрана в - окрестности начала координат, т.е. 
, то при 
точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы поверхности уровня , т.к. в силу условия 2) теоремы, функция вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при
Что и требовалось доказать.
Теорема 2 (об асимптотической устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат условиям:
1) и имеет строгий минимум в начале координат: 
;
2) производная функции , вычисленная вдоль интегральной кривой системы (4)
причем вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при 
, производная 
, где 
, то точка покоя системы (4) асимптотически устойчива.
Доказательство. Так как условия теоремы 1 выполнены, то для любого можно подобрать такое 
, что траектория, начальная точка которой находится в - окрестности начала координат при 
не выходит за пределы - окрестности начала координат. Следовательно, вдоль такой траектории при 
выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция монотонно убывает с возрастанием и ограничена снизу, и вдоль траектории существует предел функции при :
Если 
, то из условия 1) будет следовать, что 
, т.е. точка покоя асимптотически устойчива.
Допустим, что 
, тогда траектория при находится в области 
, следовательно, вне некоторой 
– окрестности начала координат, т.е. там, где по условию 2) при 
. Умножая неравенство 
на 
и, интегрируя вдоль траектории в пределах от 
до , получим
или
При достаточно большом правая часть становится отрицательной, т.е. 
, что противоречит условию 1). Ч.т.д.
Теорема 3 (Четаева) о неустойчивости.
Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в замкнутой 
- окрестности начала координат следующим условиям:
1) 
и в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых 
;
2) 
причем 
лишь при 
, то точка покоя 
системы (4) неустойчива.
Доказательство. Начальную точку 
возьмем на том 
множестве, где 
. Т.к. вдоль траектории 
, то функция вдоль траектории возрастает. Допустим, что траектория не покидает - окрестность начала координат. Тогда умножая неравенство 
на и интегрируя, имеем
т.е. при функция вдоль траектории неограниченно возрастает, что невозможно, т.к. дифференцируемая в замкнутой области функция ограничена. Таким образом, траектория покидает - окрестность точки покоя, т.е. точка покоя неустойчива. Ч.т.д.
Общего метода построения функции Ляпунова не существует. Часто её можно построить в виде квадратичной формы 
.
Пример 1.
Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы
Рассмотрим функцию 
она удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова:
1) 
2) 
Решение устойчиво.
Вне окрестности начала координат
Следовательно, решение 
асимптотически устойчиво.
Пример 2.
Исследовать на устойчивость точку покоя системы.
Функция 
удовлетворяет условиям теоремы Четаева:
1) при 
; 2) 
при , причем при 
, . Следовательно, точка покоя неустойчива.
3. Исследование на устойчивость по первому приближению.
Рассмотрим нелинейную нормальную систему дифференциальных уравнений
(1)
где 
– дифференцируемые в окрестности начала координат 
функции.
Напомним, что исследование на устойчивость точки покоя системы (1) эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения 
системы дифференциальных уравнений
(2)
т.к. система (1) может быть получена из (2) после замены
в результате, которой из (2) имеем
(3)
Обозначив правую часть в (3) через 
получим систему (1). Из (3) и (2) видно, что в точке покоя, т.е. при правые части системы (1) обращаются в нуль: 
, т.е. 
- это точка покоя.
Теперь, с учетом этого обстоятельства и пользуясь дифференцируемостью функций 
, представим систему (1) в окрестности начала координат 
в следующем виде
(4)
где 
имеют порядок выше первого относительно 
.
Будем исследовать на устойчивость точку покоя 
линейной системы
(5)
называемой системой уравнений первого приближения для системы (4).
Если все коэффициенты 
, т.е. система (1) стационарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (5) не представляет принципиальных затруднений (см.раздел 1.3). В отношении системы (4) имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Если система уравнений (4) стационарна в первом приближении, все члены в достаточно малой окрестности начала координат (при 
) удовлетворяет неравенствам 
, где 
и 
- постоянные, причем и все корни характеристического уравнения
(6)
имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение 
системы (4) и системы уравнений (5) асимптотически устойчивы, следовательно, в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.
Теорема 2. Если система уравнений (4) стационарна в I приближении, все функции удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (6) имеет положительную действительную часть, то точки покоя 
системы (4) и системы (5) неустойчивы, следовательно, и в этом случае возможно исследование на устойчивость по I приближению
В так называемом критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (4) начинают влиять нелинейные члены 
, и исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.
Докажем теорему 1 в предположении, что все корни 
характеристического уравнения (6) действительны и различны
при 
.
В векторных обозначениях системы (4) и (5) примут соответственно следующий вид
(4а)
, (5а)
где
С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными коэффициентами 
, где
преобразуем систему (5а) к виду
или 
в котором матрица 
диагональна
,
т.е. система (5) примет вид
а система (4) при том же преобразовании переходит в
(7)
где 
, 
- постоянная величина, 
(т.к. 
).
Для системы (7) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является
Действительно,
1) 
2) 
при достаточно малых 
, т.к. все 
, а величина 
при достаточно малых 
может быть сделана по модулю меньше суммы 
.
Наконец, вне некоторой окрестности начала координат . Таким образом, система (7), а, следовательно, и (4), как и система (5), асимптотически устойчива. Ч.т.д.
Пример 1.
Исследовать на устойчивость точку покоя системы
(8)
Здесь 
, т.е. 
. Удовлетворяются условию теорем 1 и 2. Поэтому исследуем на устойчивость точку покоя системы первого приближения.
