Методические указания по выполнению работы. Решение нелинейного уравнения 1

Решение нелинейного уравнения 1

Решение нелинейного уравнения 2

(Выполняется по варианту, аналогично примеру раздела 1)

Решение системы нелинейных уравнений 3

Решение системы нелинейных уравнений 4

(Выполняется по варианту, аналогично разделу 3)

Заключение.

Рассмотрен метод решения нелинейных уравнений и их систем.

Приведенные примеры демонстрируют алгоритм решения, который легко распространяется на системы из трех более уравнений.

Общие особенности метода: необходим подбор начальных приближений решения и итерационного коэффициента (в том числе и знака), что в сложных задачах затрудняет поиск решений.

Существуют более совершенные методы решений, но они имеют относительно сложные алгоритмы.

Методические указания по выполнению работы

Решение нелинейных уравнений методом простой итерации [1, с.21].

Большинство нелинейных уравнений, получаемых в реальных инженерных задачах, не имеет аналитических точных решений. Типичная форма уравнения уравнений имеет вид:

. (1)

Метод простой итерации требует приведения уравнения к следующему виду:

, (2)

что в простейшем случае достигается подстановкой: .

Уравнения (1) и (2) могут иметь одно или несколько решений или не иметь решений.

Метод простой итерации состоит в следующей последовательности действий:

· Задается начальное приближение решения: .

· Вычисляется последовательность приближений решения по формуле:

. (3)

· Критерием остановки процесса поиска решения может являться либо заданное число шагов итерационного поиска, либо преодоление порога близости к нулю значения левой части уравнения (1).

Итерационный коэффициент в формуле (3) введен для управления сходимостью итерационной последовательности. Существует пороговое значение коэффициента , разделяющее область сходимости и область расходимости рекуррентной последовательности [1, с.23]. Последовательность (3) сходится к искомому решению уравнения (1), если оно существует и функция является непрерывно дифференцируемой.

Начальное приближение решения может существенно влиять на результат решения: неудачное начальное значение может не позволить методу решить уравнение.

Проблемными моментами при решении нелинейных уравнений являются выбор начального приближения и задание итерационного коэффициента сходимости .

Решение систем нелинейных уравнений методом итераций осуществляется аналогично приведенному выше алгоритму. Например, для системы трех нелинейных уравнений итерационная последовательность вычисляется следующим образом:

(4)