РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Методические указания
Нужно твердо усвоить идею метода перемещений, смысл основной системы и правила определения степени угловой и линейной подвижности рамы (степени кинематической неопределимости).
Для определения степени кинематической неопределимости удобно пользоваться следующей формулой:
n=nу+nл,
где nу - число неизвестных углов поворота, равное числу жестких узлов рамы;
nл - число неизвестных линейных перемещений, равное степени свободы шарнирной схемы рамы и определяемое по формуле nл=Ш-3К, где Ш - число простых и приведённых к ним сложных шарниров, К - число замкнутых контуров рамы.
При выборе основной системы метода перемещений необходимо учитывать, что линейные связи должны быть поставлены не только по направлению возможных линейных перемещений, но и для устранения мгновенной изменяемости системы, образованной после постановки шарниров во все узлы (включая опорные).
Построение единичных и грузовых эпюр в основной системе производится по специальным таблицам. При этом значения ординат необходимо выражать через общую жесткость - EI.
9. Производим статическую проверку полученной эпюры. (рис.31)
Рис.31
10. Деформационная проверка. Определяем вертикальное перемещение узла 6 в заданной системе. Для этого перемножим окончательную эпюру М на единичную эпюру в основной системе метода сил. (рис.32)
Рис.32
11. По эпюре моментов строим эпюру поперечных сил (рис.33):
M67= - 0,3 -1,5= -1,8 кНм;
M76= - 0,6 -1,5= -0,9 кНм;
M78= - 0,45= кНм;
M87= 0.
Рис.30
При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками (rii>0), а также использовать теорему о взаимности реакций (rik=rki).
После определения значений неизвестных рекомендуется построить эпюры моментов по формуле
.
Суммирование этих эпюр рекомендуется производить по характерным точкам и в пояснениях обязательно проводить все расчеты.
Эпюры поперечных и продольных сил строятся по эпюре моментов так же, как и в контрольной работе 5.
Для проверки правильности эпюры M, необходимо составить условия статического равновесия узлов рамы по изгибающим моментам (статическая проверка).
ЗАДАЧА 1
Для заданной рамы (рис19.,а) требуется:
· построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;
· проверить правильность построения эпюр.
Р е ш е н и е
1. Определяем степень кинематической неопределимости заданной рамы:
nу = 1; nл = 10-3×3=1; n =1+1=2.
Образуем основную систему, введя связи, препятствующие неизвестным угловому (подвижная заделка) и линейному (опорный стержень) перемещениям (рис.19,б).
Рис.19
3. Составим систему канонических уравнений метода перемещений для заданной рамы:
ì r11Z1+r12Z2+R1p=0;
í
î r21Z1+r22Z2+R2p=0.
4. Используя таблицу 1 приложений, построим для основной системы единичные (рис.20,а,б). и грузовую эпюры (рис.20,в).
5. Применяя метод вырезания узлов, определим коэффициент при неизвестном и свободный член канонического уравнения (рис.29).
Рис.29
Из рис.29 имеем:
R1P= - (1,5+1,5)= - 3 кНм
6. Подставляем найденные значения в уравнение и решаем его:
6,67EI×Z1 - 3=0; Z1=0,45/EI;
7. Строим исправленную эпюру (рис.30,а).
8. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис.30,б):
M12= M21= M23= M32=0
M26= M62=0;
M15= 0;
M51= 0,45кНм;
M37= 0;
M73= 0,45кНм;
M45= 0;
M54= 0,45кНм;
M56= - 0,6 -1,5= -0,9 кНм;
M65= - 0,3 -1,5= -1,8 кНм;
3. Так как внешняя нагрузка симметричная, то обратносимметричные неизвестные заведомо равны нулю: Z2= Z3= Z4=0. Каноническое уравнение метода перемещений будет иметь следующий вид:
r11Z1 +R1p=0;
4. Используя таблицу 2 приложений, построим для основной системы единичную (рис.28,а). и грузовую эпюры (рис.28,б).
Рис.28
Рис.20
5. Определяем коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений. Для этого вырежем вначале узел 5 и рассмотрим условие его равновесия
6. (åМ=0), т.е. определим коэффициенты и свободный член первого уравнения, представляющие собой реактивные моменты во введённой заделке (рис.21,а,б,в).
Рис.21
Из рис.21,а,б,в имеем:
Для определения коэффициентов второго уравнения, представляющих реакции во введённом стержне, рассечём стойки и рассмотрим условие равновесия (åX=0) средней части рамы, содержащей введённый стержень (рис.22,а,б,в).
Из рис.22,а,б,в следует:
ЗАДАЧА 2
Для заданной рамы (рис27.,а) требуется:
· построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;
· проверить правильность построения эпюр.
Р е ш е н и е
1. Определяем степень кинематической неопределимости заданной рамы:
nу=3; nл=19-3×6=1; n=3+1=4.
2. Образуем основную систему метода перемещений, применяя группировку неизвестных (рис.27,б).
Рис.27
Рис.25
11. Методом вырезания узлов строим эпюру продольных сил (рис.26).
Рис.26
Рис.22
6. Подставляем найденные значения в систему уравнений и решаем её:
ì 4,25EI×Z1+0,375EI×Z2+80=0;
í
î 0,375EI×Z1+0,5625EI×Z2=0.
Z1=-20/EI; Z2=13,333/EI.
7. Строим исправленные эпюры, умножая каждую единичную эпюру на соответствующее найденное перемещение (рис.23,а,б). При этом знак у первой эпюры изменится на противоположный, т.к. Z1 имеет отрицательное значение.
8. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов, суммируя исправленные и грузовую эпюры (рис.24,а):
Рис.23
M14=5 кНм;
M41=0;
M54=7,5-80=-72,5 кНм;
M45=0;
M56=-40+10=-30 кНм;
M65=20-10=10 кНм;
M52=-30-5=-35 кНм;
M25=0;
M53=-7,5= кНм;
M35=0.
Рис.24
9. Производим проверку полученной эпюры. Для этого вырежем узел 5 (рис.24,б) и проверим условие равновесия вида: åM=0;
åM=-72,5+30+7,5+35=0 - условие выполняется.
10. По эпюре моментов строим эпюру поперечных сил (рис.25):
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
Департамент научно-технологической политики и образования
ФГОУ ВПО Костромская ГСХА
Кафедра сопротивления материалов и графики
 |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к расчётно-графическим работам по курсу
«Строительная механика»
(часть 2)
Кострома 2011
УДК 624.04
Методическое пособие составил: Афанасьев Е.Н.
Рекомендовано Методической комиссией архитектурно-строительного факультета КГСХА
Рецензент: доцент, к.т.н. Гуревич Т.М.
В методическом пособии даются в конспективной форме рекомендации о методах расчета задач, приводятся необходимые формулы, таблицы и примеры решения задач.
