РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ
Методические указания
Расчёт статически неопределимых систем методом сил начинают с выявления степени статической неопределимости. При этом целесообразно пользоваться следующей формулой:
Л=3К-Ш,
где К - число замкнутых контуров рам;
Ш - число простых и приведённых к ним сложных шарниров.
Для упрощения расчета, если это возможно, рекомендуется принять симметричную основную систему.
Для построения единичных эпюр основную систему поочерёдно нагружают силами, равными единице и действующими по направлению лишних связей. Число единичных эпюр должно соответствовать степени статической неопределимости рамы. Грузовую эпюру получают от действия на основную систему заданной нагрузки. Эпюры должны быть построены со стороны растянутых волокон.
"Перемножая" эпюры при определении коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода сил, следует пользоваться способом Верещагина. При этом необходимо помнить, что коэффициенты, расположенные на главной диагонали системы, всегда больше нуля (dii>0), а коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали равны между собой (dik=dki).
После определения коэффициентов канонических уравнений рекомендуется произвести их проверку путем подсчета интеграла (по Верещагину)
 |
,
где 
.
Результат должен совпадать с суммой
.
Проверка правильности определения свободных членов (грузовых перемещений) проводится по формуле:
.
Обычно после определения неизвестных строят эпюры моментов от найденных значений Хi, умножая ординаты каждой единичной эпюры на соответствующее значение неизвестного. Тогда момент в любой точке будет определяться формулой
.
Окончательную эпюру моментов необходимо проверить путем "умножения" её на одну из единичных эпюр или на сум-
марную эпюру 
(деформационная проверка). Результат умножения должен быть равен нулю (или быть близким к нулю).
Внутренние усилия по концам любого элемента ab рамы, условимся обозначать следующим образом: M ab, Q ab, N ab - соответственно изгибающий момент, поперечная сила и продольная сила на конце a элемента ab; M ba, Q ba, N ba - соответственно изгибающий момент, поперечная сила и продольная сила на конце b того же элемента. Буквенные индексы могут заменяться цифровыми.
Продолжение таблицы 1
Построение эпюры поперечных сил (по эпюре моментов) необходимо сопровождать расчетами. При этом особое внимание надо обратить на правило знаков. При возрастании момента поперечная сила положительна. При построении эпюры М со стороны растянутых волокон возрастание момента характеризуется наклоном вниз (слева направо). Определение ординат эпюры Q удобно производить по формуле:
,
где
Qx0- "балочная" поперечная сила (найдена для данного участка как для простой балки на двух опорах);
Мпр - момент на правом конце участка (положительный, если он растягивает нижние волокна);
Млев- момент на левом конце участка (положительный при растяжении нижних волокон);
l - длина участка.
Эпюра N строится по эпюре поперечных сил путем вырезания узлов (как принято при расчете ферм), начиная с узла, в котором количество неизвестных продольных сил не превышает двух. При вырезании каждого узла необходимо учиты-
вать, что положительная поперечная сила вращает узел по ходу часовой стрелки, а отрицательная - против.
Задача 1
Для заданной рамы (рис.1,а) требуется:
· построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;
· проверить правильность построения эпюр.
Р е ш е н и е
1. Определяем степень статической неопределимости заданной рамы:
n =3×K-Ш = 3×2 - 4 =2.
2. Выбираем основную систему метода сил, удаляя из заданной статически неопределимой системы лишние связи (рис.1,б).
Рис.1
3. Составим систему канонических уравнений метода сил для заданной рамы:
ì d11X1+d12X2+D1p=0;
í
î d21X1+d22X2+D2p=0.
4. Построим для основной системы единичные (рис.2,а,б) и грузовую (рис.2,в) эпюры изгибающих моментов.
Продолжение таблицы 1
Продолжение таблицы 1
Рис.2
5. Перемножением единичных и грузовой эпюр определяем коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
6. Проведём проверку найденных коэффициентов и свободных членов.
Для проверки коэффициентов построим суммарную единичную эпюру 
(рис.2,г) и умножим её саму на себя:
Условие 
выполняется, следовательно, коэффициенты найдены правильно.
Для проверки свободных членов перемножим суммарную и грузовую эпюры.
Условие 
выполняется, следовательно, свободные члены найдены правильно.
7. Подставляем найденные значения в систему уравнений и решаем её:
5,667X1 - 2X2 -16=0;
-2X1 +2,667X2+12=0.
Таблица 1
Рис.43
X1=1,68; X2=-3,24.
8. Строим исправленные эпюры, умножая каждую единичную эпюру на соответствующее найденное усилие (рис.3,а,б). При этом знак у второй эпюры изменится на противоположный, т.к. X2 имеет отрицательное значение.
Рис.3
9. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов, суммируя исправленные и грузовую эпюры (рис.4,а):
M13=0;
M31=-0,84-3,24+3=-1,08 кНм;
M24=0;
M42=-0,84-3,24+3=-1,08 кНм;
M53=-1,68+6=4,32 кНм;
M64=-1,68+6=4,32 кНм;
M65=-1,68-6=7,68 кНм;
M67=-12= кНм;
M76=0.
10. Производим деформационную проверку полученной эпюры M.
Проверка подтверждает, что эпюра изгибающих моментов построена правильно. 
Рис.4
11. По эпюре моментов строим эпюру поперечных сил (рис.4,б):
12. Строим эпюру продольных сил методом вырезания узлов (рис.5).
 N
сеч
| Мпост кНм | М от временной нагрузки кНм в 1-м во 2-м на прол. прол. конс. | Мmax кНм | Мmin кНм | ||
| -11,44 | -3,72 | -8,62 | 0,69 | -10,75 | -23,78 | |
| а | -1,1 | 2,91 | -2,79 | 0,02 | 1,83 | -3,89 |
| b | 8,93 | -1,86 | 8,19 | -0,655 | 17,12 | 6,415 |
| c | 3,965 | -0,93 | 7,22 | -1,328 | 11,185 | 1,707 |
| -1 | -2 | -1 | -3 |
Контрольные вопросы
1.Какая основная система более рациональна при расчете неразрезных балок? Почему?
2. Почему на протяжении двух соседних пролетов неразрезной балки эпюра не может быть однозначной?
3. Что такое приведенная длина пролета?
12. Р а с ч е т н а н а г р у з к у н а к о н с о л и (рис.42a)
Рис.42
Эпюры МР, Моп и М показаны на рис.42b,c,d.
13. Пользуясь построенными эпюрами от постоянной нагрузки (рис.43a) и временной нагрузки (рис.43b,c,d), строим объемлющую эпюру М (рис.43e.) для второго пролета. Ординаты Мmax и Мmin определяем в табличной форме.
Рис.5
Задача 2
Для заданной рамы (рис.6,а) требуется:
· построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;
· проверить правильность построения эпюр.
Рис.6
Степень статической неопределимости рамы определяем по формуле:
n = 3К - Ш = 3×2 - 4 = 2.
Здесь ввиду симметрии системы можно ввести упрощение в расчете путем группировки неизвестных. В качестве новых, групповых неизвестных возьмем суммы и разности основных неизвестных Х1 и Х2. При этом получим симметричные и обратно симметричные эпюры моментов, показанные на рис.7а,б,а грузовая эпюра на рис.7в. Система двух канонических уравнений вида: d11×Х1 +d12×Х2+D1Р =0;
d21×Х1 +d22×Х2+D2Р =0.
распадется на две системы, каждая с одним неизвестным, причем в одной системе будут только симметричные неизвестные, а в другой - обратно симметричные. Это получается потому, что побочные коэффициенты d12= d21= 0.
Для симметричного неизвестного получаем уравнение
d11×Х1 +D1Р =0,
а для обратно симметричного -
d22×Х2+D2Р =0.
Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений используем способ Верещагина и формулу Симпсона.
Получаем
d11 = 
d22 = 
После определения опорных моментов строим эпюру М так же, как и при расчете по методу уравнений трех моментов. Эпюры МР, Моп и М показаны на рис.40 b,c,d.
12. Р а с ч е т н а н а г р у з к у в о 2 п р о л е т е (рис.41a))
Рис.41
М2 = 0.
Эпюры МР, Моп и М показаны на рис.41b,c,d.
11. Р а с ч е т н а н а г р у з к у в 1 п р о л е т е (рис.40,a)
Рис.40
М2 = 0.
Рис.7
D1Р = 
Для проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных умножаем эпюру 
(рис.7г) на эту же эпюру:
dss = 
Сумма всех коэффициентов:
Sd = d11 + d22 = 
Для проверки свободных членов уравнений умножаем эпюру МР
(рис.7в) на эпюру (рис.7г):
DSP = 
Сумма всех свободных членов уравнений:
SD = D1Р + D2Р = 
Так как в обоих случаях результаты совпадают, то, следовательно, коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений вычислены правильно.
После подстановки числовых значений перемещений в канонические уравнения находим значения лишних неизвестных.
X1 = 
X2 = 
Далее следует единичные эпюры, показанные на рис.7а,б, умножить на найденные значения неизвестных X1 и X2 и сложить эти эпюры (рис.8a,b) друг с другом и грузовой эпюрой (рис.8c). Получим окончательную эпюру моментов, показанную на рис.8д, где значения моментов даны в кНм.
Кинематическая проверка эпюры М выполняется путем ее умножения на эпюру .
D = 
Погрешность составляет всего 
, значит, эпюра М построена достаточно точно.
Для нахождения поперечных сил определяем тангенсы углов наклона эпюры моментов на различных ее участках.
QAB = QBA = 0;
;
;
;
;
.
8. По ординатам эпюры Q определяем опорные реакции (рис.39):
Рис.39
9. Статическая проверка:
åY=-q1× l 1-P-q2× l 3+R0+R1+R2=-4×6-12-2×1+12,2+19,81+5,97»0.
10. Определяем левые и правые фокусные отношения:
Рис.38
Рис.8
QBD = 
QDB = 
QDE = 
QED = 
QEF = QFE = 0;
QDK = QKD = 
Эпюра поперечных сил показана на рис.11а.
Продольные силы находим из условия равновесия узлов.
Рис.9
Узел B (рис.9а) Проецируя силы на оси x и y, получаем
Sx = 2 + QBD ×sina + NBD×cosa = 0;
NBD = 
Sy = - NBA - 8,938×cosa + NBD×sina = 0;
NBA = NAB = 
Узел E (рис.9с). Аналогично имеем
Sx = -10,26×sina - NED×cosa = 0;
NED = 
Sy = - NEF - 10,26×cosa + NED×sina = 0;
NEF = NFE = 
4. Определяем приведённые длины и фиктивные опорные реакции (для определения фиктивных опорных реакций применяем таблицу 2 приложений):
I0=I; 
=0; 
м; 
м;
5. Подставляем найденные значения и известное значение М3 в систему уравнений и решаем её:
M0 = -12,43 кНм; M1 = -11,4 кНм.
6. Строим окончательную эпюру М (рис.38,д) как сумму эпюры МР для простых однопролётных балок основной системы (рис.38,в) и эпюры Моп, построенной от найденных опорных моментов (рис.38,г):
M=MP+Mоп.
7. Применяя формулу 
, по эпюре М строим эпюру Q (рис.38,е):
Таблица подсчетов ординат объемлющей эпюры моментов
(показан пример записи)
    N
сеч
| Мпост кНм | М от временной нагрузки кНм в 1-м во 2-м в 3 -м на прол. прол. прол. конс. | Мmax кНм | Мmin кНм | |||
| ....... | ....... | ....... | ....... | ....... | ....... | ....... | ....... |
| а | -6 | -10 | -4 | ||||
| в | -18 | -10 | -12 | -9 | -40 | ||
| ....... | ....... | ....... | ....... | ....... | ...... | ....... | ....... |
Пример
Для неразрезной балки (рис.38,а) требуется:
· найти с помощью уравнений трех моментов опорные моменты и построить эпюры М и Q от постоянной нагрузки;
· найти моментные фокусные отношения и построить эпюры М от последовательного загружения каждого пролета
(и консолей) временной нагрузкой;
· построить объемлющую (огибающую) эпюру моментов для второго пролета (считая слева).
Р е ш е н и е
1. Определяем степень статической неопределимости заданной неразрезной балки:
Л=Соп-3=5-3=2.
2. Выбираем основную систему, вводя шарниры над опорами и принимая за основные неизвестные опорные изгибающие моменты. Кроме этого, заменим заделку пролётом длиной, стремящейся к нулю, и отбросим консоль, заменив её действием момента (рис.38,б).
3. Запишем систему уравнений 3 х моментов:
Для определения продольных сил в сечении Д элемента DB и сечении D элемента DE рассмотрим в равновесии ригеля DB и DE (рис.10а,б).
Рис.10
Sx = -NBD + NDB - q4sin = 0;
NDB = - 9,204 + 843/5 = 9,996 кН;
Sx = -NED + NDE - q4sin = 0
NDE = NED + q4sin = - 7,695 + 843/5 = 11,505 кН.
Узел D (рис.9б)
Sy = -(NDK + NDBsin + NDEsin +QDBcos+QDEcos) =0;
NDK = - [(NDB + NDE ) sin + (QDB+QDE) cos] = -[(9,996 +11,505) 3/5 +
+ (16,66 + 15,341) 4/5] = - 38,501кН.
Эпюра продольных сил показана на рис.11б.
Рис.11
Для статической проверки эпюр Q и N на рис.12 показана рама, отсеченная от опор с действующими на нее силами, и составлены условия равновесия:
Рис.12
Sx = Р - 2 = 2 - 2 = 0;
Sy = 12,67 + 38,501 + 12,825 - 8×8 = 0,004 кН.
Точность расчетов является приемлемой.
Задача 3
Для заданной рамы (рис.13,а) требуется:
· построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;
· проверить правильность построения эпюр.
Решение
Для определения степени статической неопределимости воспользуемся формулой: n=3К-Ш=3×3-7=2
Переходя к основной системе (рис13б), сохраним симметрию, имеющуюся в заданной системе.
В данном случае удобнее всего сделать разрез по шарниру C и в качестве основных неизвестных принять силы X1 и X2.
Остальные опорные моменты могут быть получены через фокусные отношения. При нагружении пролета n они будут равны:
Эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки следует строить одну под другой в следующем порядке:
а) эпюра от загружения левой консоли (если она есть);
б) эпюра от загружения первого пролета и т.д.
Все эпюры моментов строятся в том же масштабе, что и эпюра моментов от постоянной нагрузки и должны иметь величины моментов на каждой опоре, а для второго пролета - еще и в точках с интервалом 0,25l.
Для определения максимального момента Мmax в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки Мпост прибавляют все положительные моменты от временной нагрузки SМ+вр в данном сечении.
Для определения минимального момента Мmin в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки Мпост прибавляют все отрицательные моменты от временной нагрузки SМ-вр в данном сечении.
Мmax = Мпост + SМ+вр ;
Мmin = Мпост + SМ-вр .
Ординаты объемлющей эпюры рекомендуется определять в табличной форме.
Рис.37
Если нагружен только один пролет n, то опорные моменты для этого пролета могут быть получены из совместного решения двух уравнений трех моментов, составленных для опор n-1 и n. Они будут равны:
для левого конца нагруженного пролета
для правого его конца
где 
и 
- соответственно левое и правое фокусные отношения пролета n; 
«фиктивная» реакция соответственно на левом и правом концах нагруженного пролета n.
Если крайняя левая опора шарнирная, то Мn-1=M0= 0, 
и поэтому 
Аналогичную формулу можно получить для крайнего правого пролета с шарнирной опорой на правом конце.
Рис.13
Так как X1- симметричное неизвестное, а X2- обратно симметричное, то d12=d21 = 0 и канонические уравнения имеют вид d11X1+D1p=0; d22X2+D2p=0.
На рис.14a,б,c,д построены эпюры изгибающих моментов 
1 и 2 от 
1=1, от 
=1, эпюра и эпюра МР от заданной нагрузки.Так как все единичные эпюры ограничены прямыми линиями, то для нахождения перемещений можно воспользоваться способом. Верещагина:
d11= 
d22= 
D1P= 
D2p= 
Для проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных умножаем эпюру 
(рис.14.с) на эту же эпюру
Сумма всех коэффициентов, Sd=74,67/EJ+27/EJ=101,67/EJ.
Для проверки свободных членов умножаем эпюру МР на эпюру 
:
Рис.14
DSP = 
Сумма всех свободных членов равна:
SD = D1Р + D2Р = (360-270)/EJ = 90/EJ.
После подстановки числовых значений перемещений в канонические уравнения и решая их, находим:
X1= -D1P /d11= -360/74,67 = -4,82кН; X2 = -D2P /d22 = 270/27 = 10кН;
Окончательная эпюра изгибающих моментов (рис.15д) построена согласно выражению
Х1 + 
Х2 +МР.
Кинематическая проверка эпюры М выполняется путем ее умножения на эпюру :
Рис.35
для определения правых фокусных отношений таким же путем получена формула
Для определения фокусных отношений по этим формулам необходимо знать хотя бы одно из них. Для крайних пролетов эти отношения известны. При шарнирном опирании крайнего пролета нулевая точка находится в шарнире крайнего пролета (рис.36), поэтому 
Рис.36
при заделанном конце балки, что эквивалентно наличию дополнительного пролета длиной lо = 0 (рис.37):
