Приклад розв’язку завдання 3

У таблиці 1 дана вибірка

Таблица 1 – Вихідні дані

	7,5	6,9	6,1	5,2	4,6	3,7	2,9	1,7	1,2	0,9

Побудуємо графік точкової функції:

Рис. 1. Графік залежності від

За розташуванням точок є можливість передбачити наявність лінійної кореляційної або регресійної залежності. Будемо шукати рівняння регресії у виді:

Для визначення коефіцієнтів використовуємо метод найменших квадратів, згідно з яким:

Після нескладних перетворень отримаємо

(1)

где , . .

Коефіцієнт b називається коефіцієнтом регресії. Вираз у чисельнику для b є коваріацією (кореляційний момент) величин У та Х, який характеризує ступінь розсіювання навколо середнього значення:

Складемо таблицю 2 та обчислимо вибіркові середні.

Таблиця 2 – Визначення вибіркових середніх значень

	7,5	1,00	7,50
	6,9	4,00	13,80
	6,1	9,00	18,30
	5,2	16,00	20,80
	4,6	25,00	23,00
	3,7	36,00	22,20
	2,9	49,00	20,30
	1,7	64,00	13,60
	1,2	81,00	10,80
	0,9	100,00	9,00
5,5	4,07	38,50	15,93

 

Обчислимо коефіцієнти за формулою (1):

Дисперсії змінних Х та Y визначаються за формулами

,

s_х та s_y називають середніми квадратичними відхиленнями.

Коефіцієнт кореляції визначається за формулою:

При r>0 кореляційний зв'язок між змінними – прямий, при r<0 – зворотній.

Доповнимо таблицю двома стовпцями та обчислимо дисперсії.

Таблиця 3 – Остаточний варіант таблиці

	7,5	1,00	7,50	20,25	11,76
	6,9	4,00	13,80	12,25	8,01
	6,1	9,00	18,30	6,25	4,12
	5,2	16,00	20,80	2,25	1,28
	4,6	25,00	23,00	0,25	0,28
	3,7	36,00	22,20	0,25	0,14
	2,9	49,00	20,30	2,25	1,37
	1,7	64,00	13,60	6,25	5,62
	1,2	81,00	10,80	12,25	8,24
	0,9	100,00	9,00	20,25	10,05
5,5	4,07	38,50	15,93	8,25	5,09

Обчислимо коефіцієнт кореляції

Після того, як знайдено рівняння лінійної регресії, проведемо оцінку значущості як рівняння в цілому, так і окремих його параметрів.

Коефіцієнт детермінації R ²= r² .

Оцінка значущості рівняння регресії в цілому дається за допомогою F- критерію Фішера. При цьому висувається нульова гіпотеза H_o, що коефіцієнт регресії дорівнює нулю, тобто b = 0, і, отже, чинник х не робить впливу на результат у. Для цього порівнюють фактичне значення F_факт та критичне (табличне) F_табл значення F – критерію, при цьому F_факт обчислюється за формулою

Після обчислення цієї величини проводиться тест, який полягає в перевірці гіпотези H_о про статичну не значущість рівняння регресії. Рівень значущості a – це ймовірність відкинути правильну гіпотезу за умови, що вона вірна. Приймаємо a=0,05. Якщо F_табл<F_факт, то гіпотеза про випадкову природу оцінюваних характеристик відхиляється і признається статистична значущість і надійність рівняння регресії. Табличне значення вибирається із спеціальної таблиці з урахуванням того, що к₁=1 к₂=n-2.

Із таблиці визначимо F_табл (при к₁=1, к₂ = 8, рівень значущості a=0,05). Значення F_табл = 5,32. У нашому випадку F_табл =5,32 < F_факт = 1136,503.

Це означає, що гіпотеза Н_о про випадкову природу оцінюваних характеристик відхиляється і признається значущість рівняння регресії. Для оцінки статистичної значущості коефіцієнтів регресії і кореляції розраховуються t- критерій Ст’юдента та довірчі інтервали для кожного з показників. Висувається гіпотеза H_о про випадкову природу показників.

Випадкові помилки параметрів обчислюються за формулами:

Якщо t_табл < t_факт, то Н_о відхиляється,тобто a, br відрізняються від нуля і сформувалися під впливом діючого чинника x. Для розрахунку довірчого інтервалу визначаємо граничні помилки.

Тоді довірчі інтервали мають вид:

Обчислення стандартних помилок – досить трудомісткий процес, тому для визначення використовуємо вбудовану функцію Excel ЛИНЕЙН(). Для цього введемо таблицю 1 на робочому листі (починаючи з чарунку А1), а потім помітимо область чарунків А12:В16, для чого клацнемо по значку вибору функцій, виберемо категорію "Статистические" та знайдемо функцію ЛИНЕЙН(). З'явиться вікно, в якому необхідно вказати інтервал значень . У полях "Конст" та "Статистика" введемо цифру 1. На рисунку 2 представлено заповнене вікно.

Рис 2. Введення аргументів функції ЛИНЕЙН()

Натиснемо ОК, потім клавішу F2, потім Enter при натиснутих одночасно Shift и CTRL. У поміченої області з'являться результати розрахунку (таблиця 4).

Таблиця 4 – Результати розрахунку

-0,78242	8,373333
0,023209	0,144008
0,99301	0,210807
1136,503
50,50548	0,355515

 

Проаналізуємо результати. У першому рядку таблиці отримані коефіцієнти b та , тобто b= - 0,78242; = 8,37333. У другому рядку таблиці підраховані стандартні помилки m_b =0,023209; m_a = 0,144008.

Коефіцієнт детермінації R² = 0,99301 вказано в третьому рядку, першого стовпця. F_факт = 1136,503 (четвертий рядок, перший стовпець), число ступенів свободи дорівнює n-2=8 (четвертий рядок, другий стовпець).

Стандартна помилка Y дорівнює 0,210807 (третій рядок, другий стовпець). Нарешті, регресійна і залишкова суми квадратів представлена в нижньому рядку. Таким чином, рівняння парної регресії має вид:

y =8,37733 –0,78242 x

Рис. 3. Графік регресійної прямої

Оцінимо якість рівняння регресії, значущість коефіцієнтів і визначимо довірчі інтервали.

t_b =-0,78242/0,023209=-33,7; t_a = 8,37333/0,144008=58,14

Табличне значення t_табл = 2,306 (при рівні значущості a=0,05 та k=8). Табличне значення буде менше t_a, t_b, тому коефіцієнти рівняння регресії статистично значимі. Граничні помилки рівні:

D_a = 2.306*0,144008=0,332 D_b = 2.306*0,023209= 0,0535

Отже, довірчі інтервали коефіцієнтів рівняння мають вид:

8,04 £ £ 8,705 -0,8359£ b £ -0,7289