Елементи теорії ймовірності І
МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ»
з дисципліни «ВИЩА МАТЕМАТИКА»
З прикладами розв’язання типового варіанту
(для студентів 2 курсу денної форми навчання
за напрямом підготовки 6.080101 – «Геодезія, картографія та землеустрій»)
Відповідає вимогам кредитно-модульної системи організації навчального процесу
Харків – ХНУМГ – 2013
Завдання для самостійної роботи за темою «Елементи теорії ймовірності» з дисципліни «Вища математика» з прикладами розв’язання типового варіанту (для студентів 2 курсу денної форми навчання за напрямом підготовки 6.080101 – «Геодезія, картографія та землеустрій»). / Укл.: Данилевський М.П., Мордовцев С.М.. – Харків: ХНУМГ, 2013. – 40 с.
Укладачі: М.П. Данилевський,
С.М. Мордовцев
Завдання для самостійної роботи побудовано за вимогами кредитно-модульної системи організації навчального процесу та узгоджена з орієнтовною структурою змісту навчальної дисципліни, рекомендованою Європейською Кредитно-Трансферною Системою (ЕСТS).
Рекомендовано для студентів, що навчаються за напрямом підготовки 6.080101 – «Геодезія, картографія та землеустрій»).
Рецензент: зав. кафедри вищої математики Харківської національного університету міського господарства ім. О.Б. Бекетова, доктор фізико-математичних наук, проф. Колосов А.І.
Затверджено на засіданні кафедри вищої математики.
протокол №3 від 24.10.2012 р.
© Данилевський М.П., Мордовцев С.М., ХНУМГ, 2013
Завдання 1
Закон розподілу випадкової величини x заданий таблицею (перша строчка – можливі значення x, друга – відповідні їм значення ймовірностей p). Знайти: а) математичне очікування;
б) дисперсію;
в) середнє квадратичне відхилення випадкової величини x;
г) побудувати графік інтегральної функції розподілу F(X).
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,24 | 0,31 | 0,2 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,04 | 0,15 | 0,24 | 0,3 | 0,27 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,05 | 0,18 | 0,4 | 0,22 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,35 | 0,2 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,03 | 0,14 | 0,25 | 0,36 | 0,22 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,24 | 0,31 | 0,2 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,04 | 0,15 | 0,24 | 0,3 | 0,27 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,35 | 0,2 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,03 | 0,14 | 0,25 | 0,36 | 0,22 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,12 | 0,24 | 0,4 | 0,14 | 0,1 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,08 | 0,2 | 0,3 | 0,22 | 0,2 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,24 | 0,31 | 0,2 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,05 | 0,12 | 0,4 | 0,25 | 0,18 |
Продовження табл.
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,24 | 0,31 | 0,2 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,02 | 0,14 | 0,4 | 0,26 | 0,18 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,13 | 0,27 | 0,34 | 0,23 | 0,03 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,07 | 0,18 | 0,27 | 0,33 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,08 | 0,21 | 0,43 | 0,25 | 0,03 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,08 | 0,18 | 0,33 | 0,18 | 0,23 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,03 | 0,14 | 0,25 | 0,36 | 0,22 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,08 | 0,22 | 0,37 | 0,18 | 0,15 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,21 | 0,3 | 0,36 | 0,03 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,16 | 0,2 | 0,35 | 0,26 | 0,03 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,05 | 0,15 | 0,3 | 0,36 | 0,14 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,24 | 0,42 | 0,14 | 0,1 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,06 | 0,22 | 0,32 | 0,22 | 0,18 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,07 | 0,21 | 0,35 | 0,17 | 0,2 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,1 | 0,15 | 0,35 | 0,22 | 0,18 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,12 | 0,24 | 0,4 | 0,18 | 0,06 | |
| xi | ||||||
| pi | 0,05 | 0,14 | 0,41 | 0,26 | 0,14 |
Приклад розв’язку завдання 1
| xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,15 | 0,35 | 0,25 | 0,15 |
З аналізу ряду розподілу обчислимо математичне сподівання:
 |
дисперсію і середнє квадратичне відхилення:
 |
Рис. 1.1 – Графік інтегральної функції розподілу F(X)
Завдання 2
Випадкова величина x задана інтегральною функцією розподілу F(x). Знайти:
а) диференціальну функцію (щільність ймовірностей) розподілу;
б) математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення;
в) побудувати графік інтегральної та диференціальної функції;
г) обчислити ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (α,β).
| 
| ||||||||
| 
| ||||||||
| 
| ||||||||
|
| ||||||||
|
| ||||||||
|
| ||||||||
| 
| ||||||||
| 
| ||||||||
| 
| ||||||||
| 
| ||||||||
|
| ||||||||
| 
| ||||||||
|
| ||||||||
|
| ||||||||
| 
|
Приклад розв’язку завдання 2
Випадкова величина x задана інтегральною функцією розподілу F(x). 
а) Знайдемо диференціальну функцію (щільність ймовірностей) розподілу:
б) Обчислимо математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення:
 |
Рис. 2.1– Графік інтегральної функції F(X)
Рис. 2.1– Графік диференціальної функції 
Завдання 3
За вибіркою, що наведено у таблиці, необхідно згідно з варіантами:
а) знайти рівняння лінійної регресії та побудувати графіки точкової функції і регресійної прямої;
б) підрахувати коефіцієнти кореляції і детермінації;
в) оцінити значущість рівняння регресії, використовуючи критерій Фішера;
г) оцінити значущість коефіцієнтів рівняння регресії, використовуючи t-критерій Ст’юдента, і визначити довірчий інтервал для кожного коефіцієнта рівняння регресії.
| Варіанти | |||||
| 
|
|
|
|
|
| 12,5 | 1,1 | ||||
| 1,5 | 8,2 | 9,7 | 1,6 | ||
| 6,5 | 2,2 | ||||
| 2,5 | 4,8 | 3,2 | |||
| 3,6 | 5,5 | 4,1 | |||
| 3,5 | 2,8 | 4,8 | 5,5 | ||
| 2,1 | -2 | 4,2 | 7,3 | ||
| 4,5 | 1,7 | -9 | 3,5 | 10,5 | |
| 1,6 | -2 | -14 | |||
| 5,5 | 1,3 | -6 | -19 | 2,5 | 16,1 |
| Варіанти | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| 11,5 | 13,2 | 2,2 | 11,7 | 19,3 | |
| 7,7 | 10,4 | 2,7 | 7,4 | 18,8 | |
| 7,7 | 3,3 | 6,1 | 17,4 | ||
| 4,3 | 6,7 | 4,3 | 4,2 | 13,6 | |
| 3,1 | 6,2 | 5,2 | 3,5 | 9,1 | |
| 2,3 | 5,5 | 6,6 | 2,5 | 4,3 | |
| 1,6 | 4,9 | 8,4 | 1,7 | ||
| 1,2 | 4,2 | 11,6 | 1,2 | -5 | |
| 1,1 | 3,7 | 15,1 | 1,1 | -13 | |
| 0,8 | 3,2 | 17,2 | 0,8 | -20 |
Продовження табл.
| Варіанти | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| 10,2 | 10,9 | 1,3 | -1,8 | ||
| 1,5 | 1,7 | -1,3 | 19,5 | ||
| 6,6 | 7,7 | 2,3 | -0,7 | 18,3 | |
| 2,5 | 6,7 | 3,1 | 0,3 | 16,5 | |
| 5,1 | 5,5 | 1,2 | |||
| 3,5 | 4,5 | 4,8 | 5,4 | 2,6 | |
| 3,8 | 4,1 | 7,2 | 4,4 | -1 | |
| 4,5 | 3,6 | 10,4 | 7,6 | -8 | |
| 2,6 | 3,2 | 14,1 | 11,1 | -14 | |
| 5,5 | 2,2 | 3,1 | 13,2 | -20 | |
| Варіанти | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| 5,6 | 17,1 | -6,9 | 11,8 | ||
| 3,9 | 13,3 | -6,4 | 9,7 | ||
| 2,2 | 6,6 | 11,6 | -5,8 | 8,3 | |
| 0,5 | 7,4 | 9,9 | -4,8 | 7,5 | |
| -0,7 | 8,3 | 8,7 | -3,9 | 6,6 | |
| -1,5 | 9,7 | 7,9 | -2,5 | ||
| -2,2 | 11,5 | 7,2 | -0,7 | 5,4 | |
| -2,6 | 14,7 | 6,8 | 2,5 | 4,6 | |
| -2,8 | 17,5 | 6,7 | 4,2 | ||
| -3 | 6,4 | 8,1 | |||
| Варіанти | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| 16,4 | 8,4 | 15,2 | 5,4 | ||
| 1,5 | 15,4 | 5,5 | 4,1 | 12,4 | 1,6 |
| 14,4 | 6,1 | 2,8 | 9,7 | -0,1 | |
| 2,5 | 13,4 | 7,1 | 0,9 | 8,7 | -1,8 |
| 10,4 | 0,2 | 8,2 | -3 | ||
| 3,5 | 6,4 | 9,4 | -0,8 | 7,5 | -3,8 |
| 11,2 | -1,6 | 6,9 | -4,5 | ||
| 4,5 | -2 | 14,4 | -2,1 | 6,2 | -4,9 |
| -6,1 | 17,9 | -2,2 | 5,7 | -5 | |
| 5,5 | -10 | -2,5 | 5,2 | -5,3 |
Продовження табл.
| Варіанти | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| 7,8 | -4,3 | 4,7 | 18,1 | ||
| -3,8 | 5,2 | 14,3 | |||
| 2,3 | -3,2 | 5,8 | 12,6 | ||
| 1,3 | -2,2 | 6,8 | 10,9 | ||
| 0,8 | -1,3 | 7,7 | 9,7 | ||
| 0,1 | 0,1 | 9,1 | 8,9 | ||
| -0,5 | 1,9 | -2,4 | 10,9 | 8,2 | |
| -1,2 | 5,1 | -7,4 | 14,1 | 7,8 | |
| -1,7 | 8,6 | -11,5 | 17,6 | 7,7 | |
| -2,2 | 10,7 | -15,4 | 19,7 | 7,4 |
