Атты денелердің зоналық теориясының элементтері. Ферми беті

IV тарау. Қатты дененің кванттық физикасы

Қатты дене негізінен: металдар, жартылай өткізгіштер және диэлектриктер (изоляторлар) болып үшке бөлінеді.

Қатты дене деп атомдары периодты түрде қайталанып дұрыс орналасқан денені айтамыз. Мұндай денелер кристалдар деп аталады. Кристалдар-геометриялық дұрыс форма түзеді. Қатты дененің ішкі құрылымын дұрыс түсіндіру үшін кристалдық тор депаталатын түсінік енгізіледі. Кристалдық тор деп түйіндерін де атомдар, иондар орналасатын үш өлшемді кеңістікті торды айтады.

Кристалдық денені екі топқа бөлуге болады: моно кристалдар және поликристалдар. Монокристалл – біртекті кристалдық тордан тұратын қатты дене. Монокристалдық құрылым, оның ішкі формасы болып табылады. Монокристалдың бір түрінің ішкі формасы түрліше болуы мүмкін, бірақ олардың сәйкес бұрыштарының қырлары тұрақты болады. Монокристалдардың көпшілігі минералдар болып табылады. Монокристалдың көпшілігі жасанды түрде алынады (өсіреді). Ірі монокристалдар алу шарты өте қиын, сол үшін қатты дененің көпшілігі ретсіз кішкентай кристалдық құрылымды түзеді. Мұндай қатты денелер поликристалдар деп аталады. Монокристалдардың ерекше сипаты анизотроптылығы болып табылады, ол физикалық, механикалық, жылулық, электрлік, магниттік және оптикалық қасиеттерге тәуелді. Монокристалдардың анизатроптылығы олардың кристалдық тор түзетін бөлшегінің түрліше болуы мен түсіндіріледі.

Поликристалдардың анизатроптылығы тек кішкентай кристалдарда ғана бақыланады, олардың түрліше бағдарлануы поликристалдық қасиетіне байланысты.

 

атты денелердің зоналық теориясының элементтері. Ферми беті

 

Еркін электрондар моделіне сүйенсек металл атомының валенттік электрондары үлгішегіне (көлемшетіне) дейін еркін орынауыстыра алады. Сондықтан да кристалдың электрөткізгіштігін валенттік электрондар сипаттайды, оны электронды өткізгіштік деп атаймыз.

Есепті жеңілдету үшін кристалл өткізгіш үлгісін куб формалы етіп алып, бүйір жақтарының ұзындықтарын – l деп қарастырайық. Өткізгіштегі электрондар мүлдем еркін қозғалыста болсын. Егер U=0 болса, онда еркін электрон үшін Шредингер формуласы, мына түрде жазылады:

 

(4.1.1)

 

Бұл формуланың шешуін, алмастыру арқылы оңай тексеруге болады, онда(4.1.1) формуланы мынадай түрде қарастырамыз:

(4.1.2)

 

мұндағы - бұл электронның толқындық векторы, оның энергияға байланысы:

(4.1.3)

- функциясының нормалдау шартын мынадай түрде жазуға болады ( - көлем бойынша интеграл дайық).

 

 

мұндағы сс*-нақты сан, оны - мен алмастырып (4.1.2) формуласына қойcақ:

 

(4.1.4)

-функциясы шекаралық шартты қанағаттандыруды талап ету үшін x.y.z координаталары периодты болып, оның периоды 1-ге тең болатындай болу керек. (4.1.4) – формуладағы функцияны осы шарт бойынша қанағаттандыру үшін, оның толқындық векторының компоненттері мынадай мәндерге ие болуы тиіс:

 

; ; (4.1.5)

мұндағы - бүтін мәндер, олар бір-біріне байланысты емес, олардың мәндері 0; т.б. Шын мәнінде (4.1.4) пен (4.1.5)-шіформулаларды алмастырсақ, онда

 

(4.1.6)

 

 

мұндағы х-ты х+ -ге немесе у-ті у+ -ге тағы басқаларды алмастырсақ, онда функция өзгеріссіз (көбейткіші 1-ге тең) болып қалады да толқындық вектор квантталады. Онымен қатар кристалдағы электрондық өткізгіштік энергиясыда квантталады. (4.1.5) формуланы (4.1.3) формулаға қойсақ, онда энергия мәндері мынадай түрге келеді:

 

(4.1.7)

Онда электронның өткізгіштігі толқындық вектор арқылы (яғни мәндерімен) және спиндік магниттік кванттық сан арқылы анықталады да электрон күйі төрт кванттық ( және ) сан арқылы түсіндіріледі. Электрон энергиясы бас кванттық санмен анықталатындығы бұрыннан белгілі. Олай болса энергия бас кванттық санның өзгеруіне байланысты болады.

Егер кристалдың бірлік көлеміндегі еркін электрондардың саны болса, онда кристалл үлгісіндегі еркін электрондар құрамы V болады. Паули принципі бойынша температура абсалют нөл кезінде электрондар ең төменгі энергетикалық деңгейлерге орналасады. Сондықтан да барлық күйлердегі энергия (Е), энергияның кейбір мәнінен кіші болады да төменгі деңгейлері электрондармен толтырылады, ал > күйде вакансия (бос орын) болады. - энергия, абсолют нөл температурадағы Ферми деңгейі деп аталады.

Кеңістіктегі изоэнергетикалық бет (энергиясы тұрақты бет) энергиясының мәні, -ке дәл келсе, онда ол Ферми беті деп аталады. Бұл бет еркін электрондар үшін сфералық формаға ие болады да (4.1.3) формула бойынша анықталады немесе көлем ішіндегі (nV) еркін электрондар үшін Ферми деңгейі мына түрде өрнектеледі:

(4.1.8)

 

Металдағы электрондардың концентрациясы аралығында жатады. Егер электронның орташа концентрациясын деп алсақ, онда:

 

Олай болса температура абсолют нөл кездегі Ферми бетінің энергиясы 5эВ. Шын мәнінде температура абсолют нөлде электрондардың өткізгіштігінің орташа энергиясы 3эв-кетең. Бұл өте үлкен энергия. Осындай энергия алу үшін классикалық теория бойынша электрондық газды 25 мың кельвин температураға қыздыру керек.