Определение 2.1.1. Конечная группа 
называется разрешимой, если обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.
Поскольку при уплотнении нормального ряда с абелевыми факторами нормальными подгруппами получается нормальный ряд с абелевыми факторами, то определение конечной разрешимой группы можно сформулировать следующим образом.
Определение 2.1.2. Конечная группа называется разрешимой, если обладает главным рядом с абелевыми факторами.
Поскольку любой главный ряд группы можно уплотнить до композиционного ряда, а факторы композиционного ряда являются простыми группами (в частности, простая абелева группа — это в точности группа простого порядка), то определение конечной разрешимой группы можно сформулировать следующим образом.
Определение 2.1.3. Конечная группа называется разрешимой, если обладает композиционным рядом с факторами простого порядка.
Рассмотрим еще один подход к определению разрешимой группы, справедливый и для бесконечных групп. Для этого рассмотрим определение ряда коммутантов группы, а также свойства -го коммутанта группы.
Определение 2.1.4. Ряд коммутантов группы определяется следующим образом: 
(1).
Замечание 2.1.1. Поскольку коммутант группы является ее нормальной подгруппой, то ряд (1) является нормальным.
Лемма 2.1.1 (Свойства k-го коммутанта группы). Пусть — группа, 
. Тогда:
1) 
для любого 
.
2) 
для любого .
3) Пусть 
. 
тогда и только тогда, когда 
и 
— абелева.
Определение 2.1.5. 1) Группа называется разрешимой, если 
для некоторого , то есть если ряд коммутантов группы обрывается на единичной подгруппе.
2) 
— множество всех разрешимых групп.
Теорема 2.1.1 (Свойства разрешимых групп).
1) Всякая подгруппа разрешимой группы является разрешимой.
2) Всякая факторгруппа разрешимой группы является разрешимой.
3) Если , 
, 
, то 
.
4) Если , , 
, то 
.
5) Если 
, 
, то 
— элементарная абелева -группа для некоторого 
.
6) Если , 
, то 
для некоторого .
7) Если , 
, то 
для некоторого , 
.
Доказательство. 1) Пусть , 
. Тогда 
, такой, что . Так как , то по лемме 1.2.1 
, и значит, 
. Следовательно, 
для некоторого , поэтому 
.
2) Пусть , . Тогда , такой, что . Учитывая лемму 1.1(2), 
. Следовательно, 
.
3) Пусть , , . Тогда 
, такие, что 
и 
. По лемме 1.2.1 получаем, что 
и 
. Так как 
и 
, то 
и, согласно лемме 1.2.2, 
. Следовательно, .
4) Пусть , , . По теореме 1.2.1(1) 
. Так как 
, то по теореме 1.2.1(3) 
, и значит, можно рассматривать 
. По теореме 2.1.1(3) 
. Так как 
, то 
. Тогда по лемме 1.2.3 .
5) Пусть , . Так как 
— главный фактор группы , то по определению 2.1.1 — абелева. Поскольку , то по теореме 1.2.2
— характеристически простая группа, и по теореме 1.2.3 — прямое произведение изоморфных простых групп. Так как — абелева, то 
для некоторого , и значит, — элементарная абелева -группа по определению 1.1.1.
6) Пусть , . Тогда 
— простая абелева группа. Следовательно, 
, и значит, .
Теорема доказана.
Лемма 2.1.2. Нильпотентные группы разрешимы.
Доказательство. Пусть — нильпотентная группа и 
<· . По Следствию 1.2.4., подгруппа нормальна и | : | — простое число. По теореме 1.2.4.
≤ . Если теперь 
< · , то опять
, | : | — простое число и
≤ 0 ≤ . Пусть
= 
— каноническое разложение числа и 
= 
+ 
+... + 
.
Тогда 
и — разрешимая группа ступени не выше . Лемма доказана.
Теорема 2.1.2. 1. Главные факторы разрешимой неединичной группы
являются элементарными абелевыми примарными группами.
2. Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.
Доказательство. 1. Пусть 
— главный фактор группы . Тогда — минимальная нормальная подгруппа факторгруппы 
. Поэтому — элементарная абелева примарная группа по (1).
2. Пусть — композиционный фактор группы . Тогда K — наибольшая нормальная подгруппа в 
и — простая группа по теореме 1.2.5. Так как разрешима, то отлична от своего коммутанта, поэтому абелева и по теореме 1.2.6, имеет простой порядок.
